Централни и извънцентрови повърхности

Раздел III

Обща теория на повърхности от втори ред

Помислете за полином от степен 2 в три неизвестни

(един)

Инварианти на общите ортогонални трансформации на PDSC в пространството на полинома (1)

Инварианти на въртене и превод

Афинни свойства на повърхности от втори ред.
Пресичане на повърхности и линии.

Помислете за повърхност от втори ред

(2)

(3)

Да разгледаме повърхност с уравнение (2) и права линия в пространството

(4)

Помислете за различни случаи на пресичане на права линия и повърхност:
решаваме: (4) заместваме в (2), получаваме:

(пет)

(6)

Намерете точките на пресичане, т.е. решения на уравнение (5)

Аз. P = 0 (5) -> (5.1)

(7)

Ако права линия (4) удовлетворява условие (7), тогава тя се нарича права линия с асимптотична посока по отношение на повърхността с уравнение (2).

Уравнение (5), различни решения

I.1. Q ≠ 0

В този случай права линия (4) пресича повърхността (2) в една точка.

I.2. Q = 0 R ≠ 0

тези. права линия няма пресечни точки с повърхността, ако има асимптотична посока (удовлетворява (7)), тогава тя е асимптотична.

I.3. Q = R = 0

ur-e (5) ->, т.е. - разтвор (5)

всички точки, лежащи на права линия, са точки на пресичане с повърхността, т.е. права линия (4) лежи изцяло на повърхността и се нарича праволинейна образуваща повърхност.

Конусът на асимптотичните посоки и асимптотичният конус на повърхностите.

Нека всички такива линии преминават през m. M0.

-> в (7) и разделете на т 2:

(8)

(8) е уравнението на конична повърхност от втори ред с връх М0.

Определение. Коничната повърхност (8) се нарича конус на асимптотичните посоки на повърхността с уравнението (2).

Всяка права линия с асимптотична посока (удовлетворява (7)), преминаваща през точка M0, лежи върху този конус.

---