ATS диференциално уравнение и тяхната линеаризация
Известно е, че всяко движение, процеси на предаване, обмен, трансформация на енергия и материя могат да бъдат математически описани под формата на диференциални уравнения (DE). Всички процеси в АКТБ също могат да бъдат описани чрез диференциални уравнения, които определят същността на процесите, протичащи в системата, независимо от нейния дизайн и т.н. След решаването на DE, е възможно да се намери естеството на промяната в контролираната променлива в преходни и стационарни режими при различни въздействия върху системата.
За да се опрости проблемът с намирането на система за управление, която описва работата на АКТБ като цяло, системата е разделена на отделните си елементи, преходните процеси в които са описани от доста прости системи за управление. Тъй като DE описват работата на дадена система, независимо от физическата същност на процесите, протичащи в нея, тогава при разлагането на системата няма нужда да се отчита тяхната физическа цялост. За всеки елемент от структурната диаграма е необходимо да се състави DE, който определя зависимостта на промяната в изходното количество от входа.
Тъй като изходната стойност на предишния елемент е входната за следващия, след като определихме DE на отделните елементи, можем да намерим DE на системата.
Този метод обаче е приложим само в специални случаи. Факт е, че в повечето случаи в реалните елементи на системата връзката между входните и изходните величини е нелинейна и често се дава в графична форма. Следователно, дори ако се получи диференциално управление на системата, то ще бъде нелинейно. А аналитичното решение на нелинейни DE не винаги е възможно.
За да се реши този проблем, се взема предвид, че в процеса на регулиране отклоненията на всички променящи се величини от техните стационарни стойности са малки и следователно е възможно нелинейните DE да бъдат заменени с приблизителни линейни DE, т.е., възможна е линеаризация на диференциални уравнения.
Нека разгледаме същността на процеса на линеаризация на примера на шкаф за сушене. Зависимостта на температурата на обекта от приложеното напрежение в повечето случаи е нелинейна и има формата, показан на фигурата.
Графично линеаризацията на някакво уравнение в две променливи F (x, y) = 0 в близост до някаква точка (x0, y0) може да бъде представена като заместване на разглежданата част от кривата с тангенс, чието уравнение се определя по формулата
,
където и са частичните производни на F по отношение на x и y. Това уравнение се нарича уравнение на стъпки, тъй като тук стойностите на x и y се заменят със стъпките Dx = x - x0 и Dy = y - y0.
DE линеаризацията се извършва по подобен начин, единствената разлика е, че е необходимо да се търсят частични производни по отношение на производни (, и т.н.). Окончателното уравнение на стъпки ще съдържа стъпките на производни: Dx '= x'– x'0, Dx ”= x” - x ”0,…, Dy' = y'– y'0, Dy” = y ” –Y ”0 и т.н.
Пример. Линеаризация на нелинейни DE.
3xy - 4x 2 + 1.5 y = 5 + y
Това DE е нелинейно поради наличието на произведения на променливите x и y. Линеаризираме го в близост до точката с координати x0 = 1, = 0, = 0. За да определим липсващото начално условие у0, заместваме тези стойности в DE:
Нека въведем функцията
F = 3xy - 4x 2 + 1.5x'y - 5y '- y
и дефинирайте всички негови производни за дадените начални условия:
= (3y - 8x = 3 * 2 - 8 * 1 = -2,
= (3x + 1.5x ’- 1 = 3 * 1 + 1.5 * 0 - 1 = 2,
= (1,5y = 1,5 * 2 = 3
= -5.