Алгоритъм за компактно съхранение и решение от висок ред
Алгоритъм за компактно съхранение и решение на SLAE от висок ред
Една от съществуващите трудности, възникващи при численото изпълнение на решението на контактните задачи на теорията на еластичността чрез метода на крайните елементи (МКЕ), е решаването на системи от линейни алгебрични уравнения (SLAE) от голям ред на формата
Повечето от съществуващите методи за решаване на такива системи са разработени при предположението, че матрицата А има лентова структура и ширината на лентата, където n2 е редът. Въпреки това, когато се използва FEM за числено решение на контактни проблеми, са възможни случаи, когато ширината на лентата [5].
1 ПРЕГЛЕД НА МЕТОДИТЕ ЗА РЕШАВАНЕ НА ПЛАЧИ, ИЗВЪРШВАНИ В МКЕ
Основната идея на метода на крайните елементи е, че всяка непрекъсната величина, като температура, налягане и изместване, може да бъде апроксимирана чрез дискретен модел, който е изграден върху набор от частично непрекъснати функции, дефинирани върху краен брой поддомейни. Непрекъснатите функции на парчета се определят, като се използват стойностите на една непрекъсната величина в краен брой точки от разглеждания регион [1,2,3].
В общия случай непрекъснатото количество е неизвестно предварително и е необходимо да се определят стойностите на това количество в някои вътрешни точки на региона. Дискретен модел обаче е много лесно да се изгради, ако първо приемем, че числовите стойности на тази величина във всяка вътрешна точка на региона са известни. След това можете да преминете към общия случай. Така че, когато конструирате конкретен модел на непрекъснати величини, процедирайте както следва:
1. В разглежданата област е фиксиран краен брой точки. Тези точки се наричат опорни точки или просто възли.
2. Стойността на непрекъснато количество във всяка възлова точка се счита за променлива, която трябва да бъде определена.
3. Областта на дефиниция на непрекъсната величина е разделена на краен брой поддомейни, наречени елементи. Тези елементи имат общи възлови точки и те заедно приближават формата на региона.
4. Непрекъсната величина се апроксимира при всеки елемент от функция, която се определя с помощта на възловите стойности на тази величина. За всеки елемент се дефинира негова собствена функция, но функциите се избират по такъв начин, че да се запази непрекъснатостта на стойността по границите на елемента.
За да разрешите SLAE в FEM, трябва да изберете метод за решение. Окончателното решение за използването на итеративни или директни методи за решаване на SLAE трябва да бъде взето въз основа на анализа на структурата на изследвания математически проблем. По-изгодно е да се използват директни методи за решаване на SLAE, ако е необходимо да се решат много еднакви системи с различни десни страни или ако матрицата И не е положително определено. Освен това има проблеми с матричната структура, за която преките методи винаги са за предпочитане пред итеративните.