2013136 - Страница 6
и теоремата на Поасон.
1. Локалната гранична теорема се прилага, ако е необходимо да се изчисли вероятността P n (k) и npq> 10: Първо, намираме
От таблицата или с помощта на калкулатор намираме приблизителното
„(x) = p 1 2 ¼ ¢ e ¡2:
Ако x P 8 (5); което означава, че е по-вероятно да спечелите три мача от четири срещу равен противник, отколкото пет от осем.
Пример 6.2. Тестът се състои в хвърляне на три зарове. Намерете вероятността при пет независими изпитания да бъдат изтеглени точно два пъти по три.
Решение. Нека намерим вероятността за успех p в един тест, който се състои в хвърляне на три зарове. Броят на всички елементарни резултати в това проучване е 6 3; благоприятен
резултатът е само един този резултат (1; 1; 1); следователно p =
Общо се провеждат пет независими теста, в които
следователно има точно два успеха,
Пример 6.3. В единичен квадрат е вписан кръг. 6 точки се хвърлят произволно на площада. Намерете вероятността 4 от тях да попаднат в кръга, но 2 не.
Решение. Трябва да намерим вероятността от 6 независими теста за хвърляне на точка в квадрат да има точно 4 ¾ успеха на тази точка, попадащи в кръг. Според геометричната дефиниция на вероятностите за една точка вероятността за влизане в кръг е равна на съотношението на площите на този кръг и квадрат
p = S (A) = ¼: S (-) 4
Вероятността точката да не попадне в кръга, q = 1 ¡¼ 4; следователно вероятността точно 4 точки да попаднат в кръга е
P 6 (4) = C 6 4 p 4 q 2 = 15 ³ ¼ 4 ´ 4 ³ 1 ¡¼ 4 ´ 2:
6.1. Във всяка от 6-те колоди карти се избира произволно по една карта. Намерете вероятността 4 карти да са червени и две черни.
6.2. Заровете се хвърлят 5 пъти. Намерете вероятността кратно на три точки да се появи 2 пъти.
6.3. Което е по-вероятно: да спечелите поне три от четири мача срещу равен противник или поне пет от осем?
6.4. За даден баскетболист вероятността да хвърли топка в коша е 0; Направени 6: 8 удара. Каква е вероятността да има точно 2 попадения? Намерете най-вероятния брой попадения и съответната вероятност.
6.5. Колко пъти матрицата трябва да се хвърли, за да се появи най-вероятният брой от шест 32?
6.6. Каква е вероятността шест души да имат рождени дни за два месеца, като оставят точно десет месеца безплатни? Поема независимост и равностойност на всички месеци.
6.7. Проведени 20 независими теста, всеки от които включва едновременно хвърляне на три монети. Намерете вероятността поне един тест да има 3 емблеми.
6.8. Сегмент АВ е разделен на точка С в съотношение 2: 1: 4 точки са хвърлени произволно върху този сегмент. Намерете вероятността два от тях да са вляво от точка С; и две вдясно.
6.9. В правилен триъгълник е вписан кръг. 6 точки се хвърлят на случаен принцип в този триъгълник. Намерете вероятността двама от тях да попаднат в кръг, ограничен от кръг, но четири точки няма да попаднат.
6.10. В цилиндъра е вписана топка. 5 точки се хвърлят на случаен принцип в този цилиндър. Намерете вероятността точно 2 от тях да ударят топката.
6.11. В кутията има три топки: 1 бяла и 2 черни. Една топка се изважда произволно пет пъти и се връща всеки път. Да намеря:
а) вероятността бялата топка да бъде извадена два пъти; б) най-вероятния брой появи на бяла топка и нейната вероятност-
6.12. Намерете вероятността при 2 n теста на схемата на Бернули с вероятността за успех p и неуспех q = 1 ¡p да има m + n успехи и всички тестове с четни числа ще завършат с успех.
6.13. Вероятност за успех във всеки тест на схемата на Бернули
е равно на p: Намерете вероятността k¡-тият ред на успех да се появи в ¡-ия тест.