Задайте теория на аксиомите, Science, FANDOM, задвижвана от Wikia
Аксиоми на теорията на множествата - системи от аксиоми - твърдения, взети без доказателство, в основата аксиоматична теория на множествата - раздел от математическата логика, който изучава теорията на множествата; идващи от развиващия се Г. Кантор в края на XIX век. „Наивна“ теория на множествата; което е изграждането на теория на множествата по аксиоматичния метод.
Съвременната теория на множествата се основава на система от аксиоми, от която са получени всички теореми и твърдения на теорията на множествата. Аксиомната система на Zermelo-Fraenkel (ZF) е стандартна в теорията на множествата. Към него често се добавя и се нарича аксиома на избора Zermelo - система на Fraenkel с аксиома по избор (ZFC) . Съществуват и други системи от аксиоми. Например системата NBG (von Neumann - Bernays - Gödel), заедно с множествата, разглежда така наречените класове обекти.
ZFC Аксиоми Редактиране
един. Аксиома на обема. Две групи $ a $ и $ b $ са равни, ако и само ако имат едни и същи елементи.
$ \ forall a \ forall b (a = b \ leftrightarrow \ forall c (c \ in a \ leftrightarrow c \ in b)) $
2. Празната аксиома. Има много $ e $ без нито един елемент. Този набор обикновено се означава $ \ $ или $ \ emptyset $ .
$ \ съществува e \ за всички a (a \ notin e) $
3. Двойна аксиома. За всякакви набори $ a $ и $ b $ има набор $ c $ такъв, че $ a $ и $ b $ са единствените му елементи. Наборът $ c $ се обозначава с $ \ $ и се нарича неподредена двойка $ a $ и $ b $. Ако $ a = b $, тогава $ c $ се състои от един елемент.
$ \ forall a \ forall b \ съществува c \ forall d (d \ in c \ leftrightarrow (d = a \ vee d = b)) $
4. Аксиома на обединението. За всяко семейство $ a $ от множества има набор $ b = \ cup a $, наречен обединение на множеството $ a $, състоящ се от онези и само онези елементи, които се съдържат в елементите на множеството $ a $ .
$ \ forall a \ съществува b \ forall c (c \ в b \ leftrightarrow \ съществува d (d \ в a \ клин c \ в d)) $
пет. Аксиома на безкрайността. Аксиоми от 1 до 4 предоставят ограничени възможности за формиране на нови набори. По този начин, по теорема на Кантор, в множеството $ \ mathcal
(а) $ има елемент, който не принадлежи на $ a $, следователно например няма "набор от всички набори" (парадоксът на Ръсел). След това въвеждаме дефиниция: набор се нарича индуктивен, ако той а) съдържа празен набор и б) съдържа последовател (т.е. $ a \ cup \ $ елемент) на всеки от неговите елементи. Аксиомата на безкрайността гласи, че съществуват индуктивни множества.