Условията на Коши - Риман са
Условия на Коши - Риман
Условия на Коши - Риман, или д’Аламбер - условия на Ойлер - условия за реални u = u(х,у) и въображаем v = v(х,у) части от функция на сложна променлива, които осигуряват безкрайна непрекъсната диференцируемост е(z) като функция на комплексна променлива.
Съдържание
Да функционира w = е(z), определени в даден регион д сложна равнина, беше диференцируема в точката z0 = х0 + ий0 като функция на комплексната променлива z, необходими и достатъчни, че неговите реални и въображаеми части u и v бяха диференцирани в точката (х0,у0) като функции на реални променливи х и у и освен това в този момент са изпълнени условията на Коши - Риман:
Ако са изпълнени условията на Коши - Риман, тогава производната е'(z) могат да бъдат представени във всяка от следните форми:
Доказателства
- Изпълнението на условията на Коши - Риман върху отворено подмножество е необходимо условие за аналитичността на функцията.
- Ако освен това частичните производни са непрекъснати, тогава функцията е аналитична.
Тези условия се появяват за първи път в работата на д’Аламбер (1752). В работата на Ойлер, докладвана на Академията на науките в Санкт Петербург през 1777 г., условията първо са получили характера на общ критерий за аналитичност на функциите. Коши използва тези отношения за изграждане на теорията на функциите, започвайки с мемоари, представени на Парижката академия на науките през 1814 г. Известната дисертация на Риман за основите на теорията на функциите датира от 1851 г.