Условия, при които матрица е подобна на диагонална матрица

Условия, при които матрицата е подобна на диагонална матрица - раздел Математика, линейна алгебра Нека A е квадратна матрица. Може да се счита, че е матрица на някои.

Нека бъде A - квадратна матрица. Можем да приемем, че това е матрицата на някакъв линеен оператор, даден в какво-след това основата. Известно е, че в друга основа матрицата на линеен оператор приема различна форма, по-специално, както в един от предишните примери 9.3, тя е диагонална. Това означава, че оригиналната матрица е подобна на диагонална матрица. Възниква въпросът: тази матрица винаги ли е подобна на диагонална? Как да го инсталирам? Как да намерим подходящата основа?

Теорема 9.14. Матрицата A е подобна на диагонална матрица тогава и само ако линейният оператор j, даден от тази матрица, има н линейно независими собствени вектори.

Доказателства. Нека матрицата A е подобна на диагонална матрица, тоест линеен оператор j с матрицата A = Мй) в някаква основа седин, с2, ..., cn матрицата ще приеме следната форма М '(j) =. Използвайки матрицата, намираме изображенията на базисните вектори: j (с1) = l1с1, j (с2) = l2с2, ..., j (cn) = lnсn. Получено н линейно независими собствени вектори.

Линейният оператор j има н линейно независими собствени вектори седин, с2, ..., cn със собствени стойности l1, l2,…, lн. Нека да изберем вектори седин, с2, ..., cn като базисни вектори и намерете матрицата на оператора j в тази основа. Използвайки равенствата j (с1) = l1с1, j (с2) = l2с2, ..., j (cn) = lnсn направете матрица М „й): М '(j) = .

---