Ултрафилтри и компактност

всички S, и следователно (ако имаме ултрафилтър) един от тях трябва да е голям (ако не е голям, толкова малък, допълнението му е голямо и се съдържа във втория набор).

163. Докажете, че във филтрирания продукт на нормални интерпретации функциите и предикатите са правилни от-

за равенство (т.е. съвпадение почти навсякъде): при замяна на аргументи с равни стойности, стойността на функцията съвпада с предишната почти навсякъде, но стойността на предиката не се променя.

Това твърдение може да бъде формулирано по следния начин: аксиомите на равенството са верни във филтрирания продукт на нормални интерпретации. За ултрафилтрите е вярно и по-общо свойство: всяка формула, която е вярна във всички интерпретации, е вярна във филтрирания продукт по модул на ултрафилтъра. Следователно именно такива ултрапродукти (филтрирани от модула на ултрафилтър) са от първостепенен интерес за логиката.

Сега ще докажем това свойство чрез индукция. Както обикновено, първо трябва да го разширите до формули с параметри.

Теорема 78 (Los 'за ултрапродукти). Нека параметрите на формулата 'са променливите a; b;:: То

ще бъде вярно в ултрапродукта s S M s за стойностите на параметрите;:: ако и само ако множеството от тези s, за които 'е вярно в M s за стойностите на параметрите s; с;::, принадлежи към ултрафилтъра.

Изложението на теоремата може да бъде формулирано ясно по следния начин: гласуването може да се извършва не само по атомни въпроси, но и за всякакви формули. За затворени формули не можем да кажем нищо за параметрите и получаваме, че формулата е вярна в ултрапродукта тогава и само ако е вярна в повечето (от гледна точка на ултрафилтъра) фактори. По-специално, ако формулата е вярна за всички фактори, тогава тя е вярна и за ултрапродукта. Това важно изявление заслужава специално споменаване:

Последствие. Ултрапродукт от семейство модели на някаква теория е модел на същата теория.

C Нека докажем теоремата на Лос чрез индукция чрез конструкцията

формули. За атомните формули това директно следва от дефиницията за истинността на предикатите.

Нека формулата 'е съвпад с две други формули, за които твърдението вече е вярно. Тогава

съвкупността от тези индекси, за които „е вярно, е-

Теории и модели

има пресичане на множествата от тези индекси, където

и. По този начин се нуждаем от такова ултрафилтърно свойство: пресичането на два множества е голямо тогава

и само когато и двете са големи. Това следва директно от дефиницията на филтър (тук няма значение, че е ултрафилтър), тъй като пресечната точка се съдържа и в двата набора.