Тема "Математическо програмиране"

Нелинейно програмиране - случай на математическо програмиране, при който целевата функция или ограничението е нелинейна функция.

Нелинейното програмиране се разделя на:

- Изпъкнало програмиране (функциите са изпъкнали);

- Квадратично програмиране (целевата функция f (x) е квадратна и вдлъбната).

Нелинейното програмиране се различава по различни начини:

Според броя на локалните критерии в целевата функция методите се разделят:

По дължината на вектора методите се разделят на:

- еднопараметрични или едномерни (n = 1),

-многопараметричен или многоизмерен (n> 1).

По наличието на ограничения методите се разделят на:

- без ограничения (безусловна оптимизация),

- ограничено (условна оптимизация).

По типа информация, използвана в алгоритъма за търсене на екстремума:

- методи за директно търсене, т.е. методи, при които се използват само неговите стойности при търсене на екстремума на целевата функция;

- методи за градиент от първи ред, при които стойностите на първите му производни се използват за намиране на екстремума на функция;

- градиентни методи от втори ред, при които при търсене на екстремума на функция, заедно с първите производни, се използват и вторите производни.

2.1 Изпъкнало програмиране

Изпъкналото програмиране е проблем с нелинейно програмиране, при който всички функции са изпъкнали функции. По този начин проблемът с изпъкналото програмиране е проблемът за минимизиране на изпъкнала функция върху изпъкнал набор, образуван от системата на изпъкналите неравенства.

Определение: Функция, дефинирана върху изпъкнал набор X, се нарича изпъкнала, ако за всякакви две точки и от X и всяка­th, връзката

(4)

Определение: Функция, дефинирана на изпъкнал набор X, се нарича вдлъбната, ако за всякакви две точки и от X и всяка­th, връзката

(пет)

Ако неравенствата (4) и (5) се считат за строги, те са изпълнени за, тогава функцията е строго изпъкнала (строго вдлъбната). Изпъкналостта и вдлъбнатината на функциите се дефинират само по отношение на изпъкналите множества.

Ако, където, са изпъкнали (вдлъбнати) функции на някакъв изпъкнал набор, тогава функцията f (x) също е изпъкнала (вдлъбната) на X.

Основни свойства на изпъкнали и вдлъбнати функции:

1. Наборът от минимални точки на изпъкнала функция, дефинирана върху изпъкнала­комплект скрап - изпъкнал.

2. Нека f (x) е изпъкнала функция, дефинирана на затворено изпъкнало множество. Тогава локалният минимум на f (x) на X също е глобален.

3. Ако глобалният минимум е достигнат в две различни точки, тогава той също е достигнат във всяка точка на сегмента, свързващ тези точки.

4. Ако е строго изпъкнала функция, тогава нейният глобален минимум върху изпъкнало множество X се постига в една точка.

5. Нека функцията f (x) е изпъкнала функция, дефинирана на изпъкнало множество X, и освен това тя е непрекъсната заедно с нейните частични производни от първи ред във всички вътрешни точки на X. Нека бъде точката, в която . Тогава в точката се достига локален минимум, който съвпада с глобалния минимум.

6. Наборът от точки на глобални (следователно, локални) минимуми на изпъкнала функция, дефинирана върху ограничено затворено изпъкнало множество X, включва поне една екстремна точка; ако множеството от локални минимуми включва поне една вътрешна точка от множеството X, тогава това е постоянна функция.

---