Същността на съвременния аксиоматичен метод е следната

Същността на съвременния аксиоматичен метод е следната - раздел Философия, Аксиоматичният метод Първо, Концепциите на основните обекти на математическата теория.

Първо, понятията за основните обекти на математическата теория, връзките и връзките между тях са назовани и са изцяло изброени, но не са еднозначно дефинирани, се считат за променливи, които­окото може да получи различни специфични значения.

Например в геометрията основните понятия са "точка", "права", "равнина", а връзката между тях се изразява с думите: "точка le­живее по права линия "или" точка лежи между две други точки "и т.н.

Второ, основните разпоредби на теорията са дадени като описания на структурата, т.е. съставя се списък с краен брой аксиоми, на които трябва да се подчиняват горните основни понятия (в противен случай естеството на основните понятия е безразлично).

Системата от аксиоми трябва да удовлетворява­отговарят на следните изисквания.

един. Изискването за последователност или с­капацитет: никоя от аксиомите не трябва да е около­противоречат на други аксиоми на тази система, след­следователно последиците от тях не трябва­водят до противоречие.

Със смислено аксиоматично обосноваване на теорията, когато основните й понятия и аксиоми са отражение на свойствата на определени реални обекти, например някои прости­Въпросът за истинността на системата от аксиоми не би могъл да възникне в случай на научна форма, както при Евклид. Напротив, когато системата от основни понятия­отношения, отношения и аксиоми е даден формално, проблемът за аксиоматизацията­основата на теорията навлиза във втората фаза на нейната­vitia: необходимо е да се покаже поне една област от обекти, структурата на отношенията между които е описана от дадена система от­siom.

Всъщност, ако съществува такава област от обекти, тогава­Рая е вярна, както всяка теория е вярна­ря, давайки правилното отражение на една или друга страна на природата. Правилната система от аксиоми вдясно­хитро наречен съвместен или последователен. По-общо за­наведнъж, последователност означава осъществимост или възможност за изграждане на област от обекти, тъй като системата от аксиоми може да опише­изтеглете не само съществуващи обекти, но и такива, които могат да бъдат изградени.

Напротив, непоследователността (непоследователността) на аксиомната система свидетелства за нейната неверност. Всяка противоречива система от аксиоми не отразява взаимоотношенията в която и да е област на нещата и, като­положителното се изключва от математиката.

За да докаже удовлетворяемостта (последователността) за­обикновено се изпълняват по метода на моделите. От обектите на някаква теория IN, чиято последователност се счита за установена, те се опитват да създадат интерпретация, както се казва, модел на въпросната система­ние сме аксиоми И. Създаването на модел осигурява последователност на системата И. Всъщност в този случай всички аксиоми на системата И стават теоретични предложения IN, и ако от И последва противоречие, след това теорията IN би било противоречиво. Например, за да се докаже последователността на геометрията на Евклид, доктрината за реалните числа се счита за последователна теория. От реални числа създайте "точки", "линии" и "равнини" (подобно на начина, по който го правят в аналитичната геометрия). Гово­ryat, по-нататък, какво трябва да се разбира под основните отношения, в които могат да се появят „точки“, „прави линии“ и „равнини“, и да се покаже, че при тези условия структурата на отношенията „тогава­проверка "," прави линии "и" равнини "е описана от системата на аксиомите на Евклид. По подобен начин, последователността на доктрината на­числата могат да бъдат подчинени на въпроса за последователността на­рационални числа.

Методът на модела не предоставя автономно доказателство за последователност.­теория, но само намалява въпроса за последователността­съгласуваността на една теория с въпроса за последователността на друга теория. Посредством такава информация е възможно да се покаже, че въпросът за последователността­повечето математически теории се свеждат до­попитайте за последователността на аритметиката на естествените числа (след­следователно, изискването за доказване на последователността на арит­метриката не е излишна). По този начин, за поне една математическа теория, доказателството за нейната последователност­nosti трябва да се получава извън математиката, т.е., очевидно, на практика.

Ако за системата от аксиоми И не е възможно да се изгради модел, тогава неговата непоследователност не следва оттук. Несъответствието трябва да се докаже чрез директно получаване на противоречието от аксиомите И или чрез доказване на непрактичността на модела.

Понякога не е трудно да се получи противоречие. Нека вземем например всички аксиоми на геометрията на Евклид, с изключение на аксиомата за паралела­лоялен. Тези аксиоми са включени както в евклидовата геометрия, така и в геометрията на Лобачевски. Сред тях е аксиомата на Архимед, която (по отношение на аритметиката) гласи: каквито и да са реалните числа x и y, 0 y. От такава система от аксиоми може да се развие геометрия, която Й. Боляй нарича абсолютна. Абсолютно­лютневата геометрия е последователна и съдържа факти, които са общи за геометрията на Евклид и Лобачевски. Частично тези факти бяха изложени от Евклид в първите 27 изречения от първата книга­и неговите "Начала".