Случайни променливи, вероятностни разпределения • Maths-Brinkmann

В последната статия, Комбинаторика, се занимавахме с подредени и неподредени проби със и без замяна. В този пост ще научим това Знаете формули за случайни променливи, вероятностни разпределения, очаквана стойност. Така че можете да z. Б. в Хазартни изявления за очакваната печалба или загуба направете. С много примери.

Две зарове (един син и един зелен) се хвърлят заедно 400 пъти.
Честотите за отделните резултати са изброени в таблица.
На всяка от двойките числа (1 | 1) ... (6 | 6) може да се присвои сумата от техните числа.

Относителните честоти на сумите на очите трябва да се сравняват с вероятността за появата им.
Този факт трябва да бъде показан в таблица и стълбовидна диаграма.

Относителните честоти за отделните суми на окото обикновено не се отклоняват особено от изчислените вероятности. Предпоставка, разбира се, е съответно голям брой опити.

Определение на случайна променлива:

Таблица на стойностите на случайна променлива за хвърляне на две зарове, броят на които се добавя.

Ако при хвърляне на две зарове на всеки резултат се присвоява общата сума, се създава случайната променлива X.
Ако човек присвои своята вероятност на всяка стойност на тези случайни променливи, се създава разпределение на вероятностите (вероятностна функция). Разпределението на вероятността или разпределението на случайната променлива може да бъде представено чрез таблица и хистограма.

Определение за разпределение на вероятностите

Функционална илюстрация, например, хвърляне на две зарове, от които се формира общата сума.

С помощта на вероятността човек би искал да z. Б. прави изявления за очакваната печалба или загуба в хазартните игри. Възниква въпросът: каква печалба може да се очаква на игра, ако се играе по-често?

Пример:

За да илюстрираме това, нека погледнем отново сумата от двете зарове.
Може да се превърне в хазартна игра, като се направи следното правило:

Правило:

Общо постигнатото с едно хвърляне се изплаща в €.

Операторът на играта, разбира се, трябва да помисли колко висок трябва да бъде залогът за игра, за да не претърпи загуба.
За да направи това, той трябва да знае каква сума трябва да изплати средно на игра за голям брой игри. Поне залогът трябва да е толкова висок.

Подобно на осредняването от честотно разпределение в описателната статистика, човек може да формира стойност, като умножи сумите на изплащанията с техните вероятности.

Наричаме тази стойност очакваната стойност .

За нашия пример стойността 7 означава, че при голям брой игри трябва да бъдат изплатени средно € 7 на игра.

Операторът на играта следователно трябва да изисква поне залог от € 7 на игра, за да не претърпи загуба.
Сумите за изплащане или изплащания съответстват на случайните променливи
X със стойностите: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12

Сега нека разгледаме играта от гледна точка на играча, който трябва да плати € 7 на игра.
За него печалбата се изчислява по следния начин:
Печалба = изплащане - залог.
Печалбата сега съответства на случайна променлива, която наричаме Y, т.е.
Y със стойностите: -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5
С това вече може да се определи очакваната стойност за печалбата.

Очакваната стойност за победа е 0. Това означава, че в дългосрочен план играчът не печели нищо. Но и той не губи нищо. Шансовете са четни.

Формула: Очаквана стойност на X

Забележка:

Е E (X)

> 0, по този начин играта се нарича благоприятна за играча.
= 0, така играта се нарича справедлива .
неблагоприятно (несправедливо) за играча.

Коментари за очакваната стойност:

Очакваната стойност е очакваната средна стойност на X в поредица от произволни опити.
Докато средната стойност - количество от описателната статистика - е свързано с миналото, т.е. със стойности, които действително са възникнали в извадка, очакваната стойност описва количество, което е свързано с бъдещето, т.е. с количество, с което се очаква в дългосрочен план.

Както при средната стойност, очакваната стойност в много случаи не е една от стойностите, които случайната променлива X може да приеме.

Пример и упражнения

Въпреки забраната, в училищния двор на професионален колеж се провеждат интересни хазартни игри.
Правила на играта:
Залогът на игра е 2 евро.
Играчът първо поставя едно от числата 1, 2, 3, ..., 6.
След това хвърля зар три пъти.
Ако заложеното число падне

не, залогът се губи.
веднъж той си връща залога.
два пъти той получава двоен залог.
три пъти, той получава три пъти залога.

Може би най-важният въпрос, който възниква в тази игра, е въпросът за перспективата за победа. Това искат да знаят всички ученици, както тези, които играят, така и тези, които управляват банката. На този въпрос може да се отговори с помощта на теорията на вероятностите.
Случайната променлива X е чистата печалба, която е сумата, която трябва да бъде изплатена на играча минус залога от € 2.

Триизмерната дървовидна диаграма и правилото за пътя се използват за изчисляване на вероятността за печалба или загуба.
Прилага се следното: G = печалба, V = загуба.

За да изчислите перспективите за печалба, умножете стойностите на случайните променливи по свързаните с тях вероятности и добавете резултатите:

Изчисленият брой -1 казва, че в дългосрочен план, т.е.при много повторения на играта, може да се очаква загуба от 1 евро на игра за играча.
Банката събира тази сума, разбира се.
Поради тази причина играта се нарича още несправедлива, тъй като печалбата и загубата не се балансират в дългосрочен план.
Печалбата и загубата ще бъдат балансирани със средно 0. Тогава това би било честна игра. Бихте могли напр. чрез увеличаване на печалбите.

Упражнение 1:

Очакваната стойност за играта със зарове, представена по-горе, беше E (X) = -1.
Така че играта е несправедлива.
Колко висок трябва да бъде залогът, за да може една игра да се нарече честна?
Изплатените суми остават същите:
Ако заложеното число падне

не, изплащането е 0 евро.
веднъж изплащането е 2 евро.
два пъти изплащането е 4 евро.
три пъти, изплащането е 6 евро.

Упражнение 2:

Всеки билет печели !
На церемонията по дипломирането всеки от 50-те участника трябва да си купи билет.
Първата награда има стойност от 100 €, втората от 25 € и третата от 10 €.
Всеки, който не получи нито една от тези награди, ще получи утешителна награда от 1 евро.
Колко скъп би трябвало да бъде билетът, за да съвпадат приходите и разходите?
Всяка партида се продава за € 5.
Приходите отиват за Фриденсдорф. Колко големи са приходите?
Решение по-долу

Упражнение 3:

Урната съдържа червена, черна и зелена топка.
Топка се изтегля, без да я замества, докато се появи зелена топка.
Ако зелената топка в

Ако се изтегли първият ход, изплащането е 2 евро.
2. Преместете изтеглено, изплащането е € 1.
Трети ход е изтеглен, изплащането е 0 €.

Колко висок трябва да бъде залогът, за да бъде честна игра?
Решение по-долу

решения

Упражнение 1:

не, изплащането е 0 евро.
веднъж изплащането е 2 евро.
два пъти изплащането е 4 евро. три пъти, изплащането е 6 евро.

Решение:

Играта е честна, ако в дългосрочен план се изиграе точно толкова, колкото се поеме.
За целта изчисляваме очакваната стойност на изплащанията.
E (X) = 1 означава, че средно 1 € на игра ще бъде изплатена в дългосрочен план.
С залог от 1 € на игра, играта е честна.

Упражнение 2: Всеки билет печели!

На церемонията по дипломирането всеки от 50-те участника трябва да си купи билет.
Първата награда има стойност от 100 €, втората от 25 € и третата от 10 €.
Всеки, който не получи нито една от тези награди, ще получи утешителна награда от 1 евро.
Колко скъп би трябвало да бъде билетът, за да съвпадат приходите и разходите?
Всяка партида се продава за € 5.
Приходите отиват за Фриденсдорф. Колко големи са приходите?
Решение: Очакваната стойност се изчислява:
E (X) = 3,64 означава, че всяка партида трябва да струва 3,65 евро, за да покрие разходите.
При цена на билета от 5 евро и 50 продадени билета печалба от 50 (5 - 3,64) = 68 евро
Тази сума отива във Фриденсдорф.

Упражнение 3:

Урната съдържа червена, черна и зелена топка.
Топка се изтегля, без да я замества, докато се появи зелена топка.
Ако зелената топка в
Ако се изтегли първият ход, изплащането е 2 евро.
2. Преместете изтеглено, изплащането е € 1.
Трети ход е изтеглен, изплащането е 0 €.
Колко висок трябва да бъде залогът, за да бъде честна игра?
Решение: С помощта на тристепенната диаграма на дървото и правилото за пътя можете да изчислите вероятностите за издърпване на зелена топка.

Очакваната стойност на изплащането е E (X) = 1.
За да бъде честна игра, залогът също трябва да бъде 1 евро.