Симетрия (инвариантност) на структурата на диференциалните изрази и уравнения

Рубрикатор

Нашите новини

Абонирайте се за новини

Золотов Олег
Пустилников Леонид

В теорията на контрола изследването на инвариантността е един от практически важните раздели. При проектирането те се стремят да постигнат независимост на контролираните величини от смущаващи влияния или от промени в параметрите на отделните елементи на системата. В многомерните системи е необходимо да се постигне независимостта на работата на отделните канали и др. Този подход обаче може да се приложи не само към отделни параметри и системи, но и да се разшири до структури от различно естество.

Тази статия ще се фокусира върху явленията на инвариантност на структурата на математически израз или уравнение по отношение на определени трансформации на тези обекти или възможността за постигане на инвариантност в резултат на допълнителен ход. Като самите структури, които представляват особен интерес в тази светлина, диференциалните изрази и уравнения.

Да кажем, че имаме диференциален израз:

в обикновени или частични производни и съответното диференциално уравнение:

където Q е функция на една или повече независими променливи. Изразът (1) и съответно уравнението (2) могат да бъдат скаларни или векторни.

Да предположим, че сме извършили някакъв вид трансформация на количествата, включени в (1) и (2), например независими променливи, стойността на самата функция Q или други. Какво ще се случи в този случай със структурата на израза (1) и уравнението (2)?

За всеки от тези обекти са възможни само два резултата. Първо: структурата на обекта няма да се промени в резултат на трансформацията, тоест ще остане точно такава, каквато е била преди намесата. Второ: структурата на обекта ще претърпи промяна, тоест вече няма да съвпада с оригинала.

В първия случай трансформацията е трансформация на симетрия, във втория не.

В тази статия ще се спрем само на първата възможност.

Забележете преди всичко, че резултатът от трансформациите може да бъде например преобразуването на израз (1) в израз на формата:

където α (Q) не изчезва никъде.

Оттук следва, че симетрията на уравнението (2) не се оказва непременно симетрията на израза (1). Поради тази причина посочването на симетрията на израза (1) може да бъде по-сложна задача от задаването на симетрията на уравнение (2).

Нека сега разгледаме няколко конкретни примера и последствията от тях.

Нека започнем с познатите диференциални изрази, написани в декартовата координатна система:

Следното твърдение е вярно: трансформацията на симетрия или просто симетрията S на структурите на всеки от тези изрази е ортогонална трансформация на независими променливи - координати x, y и z.

Както се прилага в нашия случай, ортогоналното преобразуване на независими променливи, за което тук използваме и обозначението S, е преобразуването на старите координати x, y и z в новите x ′, y ′ и z ′ по формулите:

Освен това матрицата на тази трансформация:

Условие (8) означава и следната връзка между елементите на матрицата S:

където δnm е символът на Кронекер.

Връзка (9), по-специално, показва, че редовете на матрицата S са ортонормални вектори.

Условие (8) ви позволява лесно да напишете инверсията на трансформацията (6).

Ортогоналната трансформация запазва важни характеристики на обектите. И така, сегмент с дължина l отива в сегмент със същата дължина l, триъгълник отива в равен триъгълник, два вектора, излизащи от една точка с ъгъл α между тях, преминават в два вектора със същата дължина със същия ъгъл между тях. По-специално, вектори колинеарността не е нарушена. Рангът, детерминантата и собствените стойности на матрицата, скаларното произведение и нормите на векторите [1, 2] и др. Образно казано, по време на ортогонална трансформация цялото пространство се движи като твърдо тяло [1].

---