Рязане и сгъване • Хайдар Нурлигареев • Научно-популярни задачи върху „Елементите“ • Математика
а) Нарежете произволен триъгълник на няколко парчета, така че да могат да бъдат сгънати в правоъгълник.
б) Нарежете произволен правоъгълник на няколко парчета, така че квадрат да може да се сгъне от тях.
в) Нарежете два произволни квадрата на няколко парчета, така че един голям квадрат да може да бъде сгънат от тях.
Съвет 1
б) Първо направете правоъгълник от произволен правоъгълник, като съотношението на по-голямата страна към по-малката страна не надвишава четири.
в) Използвайте питагорейската теорема.
Съвет 2
а) Начертайте височината или централната линия.
б) Поставете правоъгълник на квадрата, който трябва да се получи, и нарисувайте "диагонал".
в) Прикрепете квадратите един към друг, отстрани на по-големия квадрат, измерете сегмент, равен на дължината на по-малкия квадрат, след това го свържете с „противоположните“ върхове на всеки от квадратите (вижте фиг. 1).
а) Нека бъде даден произволен триъгълник ABC. Нека нарисуваме средната линия MN успоредно на страната AB, и в получения триъгълник CMN намалете височината CD. Освен това се отпускаме по права линия MN перпендикуляри АК и BL. Тогава е лесно да се види това ∆AKM = ∆CDM и ∆BLN = ∆CDN като правоъгълни триъгълници със същата двойка страни и двойка ъгли.
Оттук и методът за изрязване на даден триъгълник и след това пренареждане на парчетата. А именно, нека направим разрези по сегментите MN и CD. След това преместваме триъгълниците CDM и CDN на мястото на триъгълници AKM и BLN съответно, както е показано на фиг. 2. Получихме правоъгълник AKLB, както се изисква в задачата.
Имайте предвид, че този метод няма да работи, ако един от ъглите ТАКСИ или CBA - глупаво. Това се дължи на факта, че в този случай височината CD не лежи вътре в триъгълника CMN. Но това не е твърде страшно: ако нарисуваме средната линия, успоредна на най-дългата страна на оригиналния триъгълник, тогава в отрязания триъгълник ще намалим височината от тъп ъгъл и тя непременно ще лежи вътре в триъгълника.
б) Нека се даде правоъгълник ABCD, чиито страни От н.е. и AB са равни а и б съответно и а > б. Тогава площта на квадрата, която искаме да получим накрая, трябва да бъде равна на аб. Следователно страничната дължина на квадрата е √аб, което е по-малко от От н.е., но повече от AB.
Да построим квадрат APQR, равна на желаната, така че точката Б. лежи на сегмента AP, но точка R - на сегмента От н.е.. Нека бъде PD пресича сегменти Пр.н.е. и QR в точки М и н съответно. Тогава е лесно да се види, че триъгълниците PBM, PAD и NRD са подобни и освен това, = (√аб - б) и RD = (а - √аб). Означава,
Следователно, ∆PBM = ∆NRD от двете страни и ъгъла между тях. Също така е лесно да се изведат равенствата оттук PQ = MC и NQ = CD, и оттам ∆PQN = ∆MCD също от двете страни и ъгъла между тях.
Методът на рязане следва от всички по-горе разсъждения. Точно, първо оставяме отстрани отстрани От н.е. и Пр.н.е. сегменти AR и СМ, чиито дължини са равни на √аб (за това как да се конструират сегменти от формата √аб, вижте задачата „Редовни полигони“ - странична лента в раздела „Резолюция“). След това възстановяваме перпендикуляра на сегмента От н.е. в точката R. Сега остава само да отсечем триъгълниците MCD и NRD и ги пренаредете, както е показано на фиг. 3.