Редовни многогранници
Въведение. Изложение на въпрос.
В училищната програма въпросите за правилните многогранници не се разглеждат, така че не много хора знаят (а аз самият не толкова отдавна разбрах), че в триизмерното евклидово пространство има само пет правилни многогранника:
В триизмерното пространство правилен многоъгълник е многоъгълник, в който всички ръбове са равни помежду си и всички лица са равни помежду си. Тези. лицата са правилни многоъгълници.
Такива многогранници имат еднакъв брой ребра и еднакъв брой лица във всички върхове. Тези. всички върхове също имат еднаква структура.
Оказва се, че е удобно да се обозначават такива политопи с техния символ Schläfli, който характеризира комбинаторната им структура. Което означава, че p1 gons се сближават по p2 парчета във върха.
В такъв запис нашите многогранници ще получат обозначенията:
1. Тетраедър,
2. Кубче,
3. Октаедър,
4. Додекаедър,
5. Икозаедър
Например, - куб има 4 ъглови лица, 3 такива лица се събират във всеки връх.
Октаедърът, напротив, има 3 ъглови лица, 4 парчета се събират във върха.
По този начин символът на Schläfli напълно определя комбинаторната структура на политопа.
Защо има само 5 правилни многогранника? Може да има и повече?
За да отговорите напълно на този въпрос, първо трябва да получите интуитивна представа за геометрията на сферата и на равнината на Лобачевски за тези, които все още нямат такова представяне. Ще се опитам да дам необходимите обяснения.
1. Какво представлява точка върху сфера? Мисля, че това е интуитивно за всички. Не е трудно да си представим мислено точка върху сфера.
2. Какво представлява отсечка от права на сфера? Вземаме две точки и ги свързваме с най-краткото разстояние на сферата, получавате дъга, ако погледнете сферата отстрани.
3. Ако продължим този сегмент в двете посоки, тогава той се затваря и получаваме кръг. В този случай равнината на окръжността съдържа центъра на сферата, това следва от факта, че свързахме двете начални точки с най-краткото, а не произволно разстояние. Отстрани изглежда като кръг, но по отношение на сферичната геометрия това е права линия, тъй като е получена от сегмент, продължаващ до безкрайност в двете посоки.
4. И накрая, какво е триъгълник върху сфера? Вземете три точки върху сферата и ги свържете със сегменти.
По аналогия с триъгълник можете да нарисувате произволен многоъгълник върху сфера. За нас свойството на сферичен триъгълник е от основно значение, което се състои в това, че сумата от ъглите на такъв триъгълник е повече от 180 градуса, с които сме свикнали в евклидовия триъгълник. Освен това сумата от ъглите на два различни сферични триъгълника е различна. Колкото по-голям е триъгълникът, толкова ПОВЕЧЕ е сумата от ъглите.
Съответно се появява и четвъртият знак за равенството на триъгълниците върху сферата - в три ъгъла: два сферични триъгълника са равни помежду си, ако съответните им ъгли са равни.
За простота е по-лесно да не нарисувате самата сфера, тогава триъгълникът ще изглежда малко подут:
Сферата се нарича още пространство с постоянна положителна кривина. Кривината на пространството просто води до факта, че най-краткото разстояние е дъгата, а не обичайният сегмент с права линия. Изглежда, че сегментът е огънат.
Лобачевски
Сега, когато се запознахме с геометрията на сферата, няма да е трудно да разберем геометрията на хиперболичната равнина, открита от великия руски учен Николай Иванович Лобачевски, тъй като всичко тук е подобно на сферата, само „отвътре навън ", "обратно". Ако нарисувахме дъги върху сферата в кръгове, с центъра вътре в сферата, сега дъгите трябва да бъдат нарисувани в кръгове с центъра извън сферата.
Да започваме. Самолетът Лобачевски ще бъде представен в интерпретацията на Поанкаре II (Жул Анри Поанкаре, великият френски учен), наричан е още диск на Поанкаре.
1. Точка в равнината на Лобачевски. Въпросът е точка в Африка.
2. Сегмент в равнината на Лобачевски. Свързваме две точки с права по най-краткото разстояние по смисъла на равнината на Лобачевски.
Най-краткото разстояние се нанася по следния начин:
