Раздел 5

Нека X е линейно пространство (реално или комплексно). Да предположим, че в пространството X е избрана някаква основа e = fe 1;::; e n g. Да разгледаме произволен линеен функционал f 2 L (X; C) и вектор x 2 X, x = x 1 e + + x n e n. Стойността на функционала f върху вектора x е

f (x) = f (x 1 e 1 + + x n e n) = x 1 f (e 1) + + x n f (e n):

Наборът от числа f '1: = f (e 1);::; 'n: = f (e n) g уникално дефинира линейна функционална f. Тези числа са „1;::; 'n се наричат ​​коефициентите на линейния функционал (линейна форма) в основата e.

Нека разберем как се променят коефициентите ('1;::;' n) на линейната функционална f при преминаване от една основа към друга. Нека преходът от основата e = fe 1;::; e n g, при което f ('1;::;' n) към основата e 0 = fe 0 1;::; e 0 n g се извършва с помощта на преходната матрица S = (jk). Тогава за j = 1;::; н

'j 0: = f (e j 0) = f

От това следва, че ако обозначим с (f) e реда на коефициентите на линейната форма f в основата e, тогава

5.1. Двойно пространство и двойна основа

Помислете за линейното пространство X = L (X; C) на всички линейни функционали в линейното пространство X. Припомнете си, че ако f; g 2 X, a; 2 С, след това картографирането (f + g): X! С се дефинира от съотношението (f + g) (x) = f (x) + g (x), x 2 X.

Определение. Линейното пространство X се нарича двойно (двойно или дуално) пространство към пространството X.

Както е показано по-горе, за дадена основа e = fe 1;::; e n g на пространството X има еднозначно съответствие: f 7! ('1;::;' n) между линейни функционали на X и ректорни вектори на n елементи. Имайте предвид, че следните свойства на това картографиране произтичат от правилата за добавяне на функционални групи и умножаване на функционални числа по числа. Нека f; g 2 X и нека (f) e = ('1;::;' n) и

(g) e = (1;::; n). Тогава

(f + g) e = ('1 + 1;::;' n + n);

и за всеки 2 C,

(f) e = ('1;::;' n):

От получените равенства следва, че картографирането определя изоморфизъм между линейните пространства X и C n (разглеждани като пространство на редови вектори) и следователно dim X = dim X = n.

Да разгледаме набор от редови вектори j = (j; 1;::; j; n) за j = 1;::; n такъв, че

5.1. ДВОЙНО ПРОСТРАНСТВО И ДВОЙНО ОСНОВАНИЕ

и въведете набор от линейни функционали e 1;::; e n, дефинирани в основата fe 1;::; e n g с тези координатни линии. Прямото изчисление показва, че тези функционери удовлетворяват връзките

където jk е символът на Кронекер. Освен това за всеки вектор x = x 1 e 1 + + x n e n имаме

e j (x) = x k e j (e k) =

Тъй като редови вектори j, j = 1;::; n са линейно независими, тогава функционалите e j, j = 1;::; n, разглеждани като елементи на пространството X, ще бъдат линейно независими. По този начин установихме следното твърдение.

Теорема 5.1. Нека X е n-мерно линейно пространство (n 2 N). Тогава двойното пространство X също има измерение n. Ако e = fe 1;::; e n g - ba-

sis в X и e 1;::; e n са линейни функционални такива, че e j (e k) = jk, тогава fe 1;::; e n g

Определение. Основа fe 1;::; e n g на пространството X (виж твърдението на теорема 5.1) се нарича двойна (двойна или конюгирана) основа за дадената основа fe 1;::; e n g от пространството X.

---