Растеж и процеси на растеж

sp, срещу 010, 2019-04-19

Линеен растеж

В линеен растеж скоростта на промяна е константа k: f '(t) = k

Заради f '(t) ≈ Така че Δf/Δt = k следва: Δf = k? Δt, d. H. увеличението Δf е пропорционално на периода от време Δt. k се нарича още константа на пропорционалност, k ясно описва наклона на правата линия.

Забележка: Разликите се разбират от Δf и Δt:

Δt: = t₂ - t₁
Δf: = f₂ - f₁: = f (t₂) - f (t₁).

DGL: f '(t) = k> Решение: f (t) = k? t + C

пример: Плащам € 5 по сметка всеки месец: f (t) = 5? t + C с t в месеци. Константата C се определя от условието f (0) = C (интерпретация?).

Експоненциален растеж

В експоненциален растеж скоростта на промяна е пропорционална на текущия запас: f '(t) = k? f (t)

В a експоненциално нарастващият размер f (t) също променя скоростта на растеж (Защо?), Следователно текущият запас f (t) нараства през същите периоди от време Δt със същия фактор b: f2 = b? f1 > b = f2/f1, приложение: Тест на коефициента!

DGL: f '(t) = k? f (t)> Решение: f (t) = a? e kt с a = f (0) = първоначален запас и k: растежен фактор.

пример: Млякото (според регламента за качеството на млякото) е разделено на два класа на качество 1 и 2. Мляко от степен 1 съдържа до 100 000 микроба на мл. В топла среда (20 ° C до 30 ° C) микробите се размножават експоненциално.

Упражнения за този пример

(1) Ние разглеждаме мляко от качествен клас 1: След t = 5 h има около 700 000 микроба на ml. Опишете примера чрез експоненциална функция g (t) (с t в часове!)
(2) Обяснете какво описва функцията g (t) във фактически контекст.
(3) Определете скоростта на промяна на разтвора в (1). Тълкуване във фактически контекст?
(4) Млякото става кисело, когато съдържа приблизително 1 000 000 микроба на ml. Изчислете кога млякото ще вкисне.
(5) Обяснете как да определите времето за удвояване tD. Тълкуване във фактически контекст?

задълбочаване: Път за обучение към експоненциални процеси на растеж и намаляване
> Упражнение 2.4 Охлаждането е полезно тук

Екскурс: коефициент

За равни интервали от време Δt, коефициентът на стойностите на функцията трябва f (t2)/f (t1) постоянна бъда: f (t2) = b? f (t1)

Пример: t1 = 3, t3 = 5, f1 = 10, f3 = 4,9> 4,9/10 = 0,49 = b? b = b² - b = v 0,49 = 0,7> b = 0,7 = e k - k = ln (0,7) = -0,3567> f (t) = a? e -0,3567t с a = f (0)

Забележка: В примера f3 = b? б? f1 = b²? f1 (и f2 = b? f1)

Ограничен растеж

В ограничен растеж скоростта на промяна е пропорционална на разликата между запасите f (t) и Граница G, така че до възможния остатък: f '(t) = k? (G - f (t))

The ограничен растеж може ли чрез функцията f (t) = G + b? e -kt (с b 0) може да бъде описан. От това следва: f (0) = G + b = Начално салдо

DGL: f '(t) = k? (G - f (t))

пример: На пациента се дава лекарство чрез капково. Предполага се, че пациентът

4 mg/min от лекарството абсорбира
5% от наличното в момента лекарство в кръвта се екскретира през бъбреците.

Упражнения за този пример

(1) Максималното количество на лекарството в кръвта не трябва да надвишава 80 mg, първоначалната стойност е f (0) = 0. С тази информация дайте функция за растеж f (t) (t за минута).
(2) Обяснете какво описва функцията за растеж във фактически контекст.
(3) Обяснете къде се взема предвид приемът на лекарството от 4 mg/min.
(4) Определете точката във времето t, в която се достигат 90% от максималната стойност.

Практикувам: В Cornelsen Q1 (обем Lk) има пример на стр. 158/159. > Полезни задачи: стр. 161/9 и стр. 162/12.

Логистичен растеж

В логистичен растеж скоростта на промяна е пропорционална на запаса f (t) и на останалия запас G - f (t):

f '(t) = k? f (t)? (G - f (t)) (с k> 0).

Тук G отново означава горната граница.

Функцията за растеж е: $$ f (t) = \ frac> $$

От функцията за растеж се чете за t = 0 (интерпретация?): $ F (0) = \ frac $

DGL: f '(t) = k? f (t)? (G - f (t))

пример: В този пример ние разглеждаме местно племе в тропическите гори. Тук живеят 5000 коренни жители, изолирани от външния свят. Един от туземците получава силно заразен (но безобиден!) Грип. Четири седмици по-късно има 300 болни.

Упражнения за този пример

(1) Обосновете предположението за логистичен растеж в този пример.
(2) Намерете функцията за растеж f (t) (t в седмици).
(3) Изчислете точката във времето t, в която половината от коренното население се разболя. (> Тълкуване във фактически контекст?)
(4) Определете средното увеличение на болните хора (на седмица) през първите 2 месеца.

Практикувам: В Cornelsen Q1 (обем Lk) има пример на стр. 163/164. Полезно като задачи: стр. 165/бр. 14 и 15.

Бележка за нотация: Експонентата на експоненциалната функция: k? G? T става z. Б. в Корнелсен също е написано по следния начин: q? t с q = k? G (където Cornelsen използва буквата k вместо q!).

Отровен растеж

В отровен растеж растежът на популацията се възпрепятства, което може да доведе до изчезване на популацията. Пример може да се намери в работата от 2-ри курс (> перорални лекарства).

Външно отровен растеж: Тук количеството отрова се увеличава пропорционално на времето t (> c? T), докато растежният фактор (k - c? t) като цяло намалява с времето. За скоростта на промяна получаваме: f '(t) = (k - c? T)? f (t)

Функцията за растеж е: f (t) = a? e kt - 0,5? ° С? t 2 с a = f (0) = начален инвентар

пример: Докато логистичният растеж се основава на предположението, че съществува горна граница G за растеж, в случай на грипна епидемия е по-вероятно грипната вълна да отшуми бавно. Това говори за отравения растеж: Ние записваме инфекцията (= растеж) чрез степента на инфекция k, "количеството отрова" съответства в този пример на степента на възстановяване c.

Упражнения за този пример

(1) В началото са заразени 10 души, степента на заразяване е 0,25. Функцията f (t) отчита броя на заразените хора в 100. Определете функцията за растеж f (t) (t в дни), ако има 24 заразени хора след 5 дни.
(2) Покажете със скица, че функцията за растеж от (1) адекватно описва грипната епидемия.
(3) Определете максималния брой заразени хора.
(4) Определете времето на максималното увеличение на броя на заразените хора и времето на максималното намаляване.

Практикувам: В Cornelsen Q1 (Lk том) задачите стр. 152/5 и стр. 179/4. Допълнителни задачи за отровен растеж: стр. 183/12 и 13.

задълбочаване: Отровен растеж (статия в Уикипедия)

Забележка за функцията за растеж: Типът функция на растеж зависи, разбира се, от скоростта на промяна (т.е. от DGL!). В допълнение към гореспоменатата функция на растеж f (t) = a? e kt - 0,5? ° С? t 2 за външно отровен растеж са възможни два допълнителни класа функции:

f (t) = (a + b? t)? e –ct, т.е. сума от експоненциални функции.
f (t) = a? (e –pt - e –qt), т.е. разлика между експоненциални функции (> вж. работа от 2-ри курс!).

Попълнете празното пространство

При линейния растеж скоростта на промяна е постоянна, т.е. _______________________. Следователно коефициентът от ____________________________ винаги е един и същ.

При експоненциалния растеж скоростта на промяна е пропорционална на запасите, т.е. ____________________. Следователно коефициентът от __________________ винаги е един и същ.

Наляво

Йохен Пелац: Растеж и загниване: Предлага обобщение по темата за процесите на растеж.

На уебсайта на G. Roolfs има много (!) Материали:

Растеж или процеси на растеж
Добър преглед на темата Процеси на растеж.

> Работен лист със задачите по-горе.

Източници на примерите:

Експоненциален растеж: въз основа на EdM Hessen, основен и напреднал курс (2011), стр. 112/не. 3
Ограничен растеж или логистичен растеж: Въз основа на LS Analysis Lk (2001), стр. 292/no. 6 или стр. 296/No. 7-ми
Отровен растеж: Въз основа на математически анализ на новите пътища II (2011), стр. 268/No. 13 (виж също Нови пътеки, стр. 321!)

решения

Попълнете празното пространство

При линейния растеж скоростта на промяна е постоянна, т.е. в едни и същи периоди от време Δt има същото увеличение Δf. Следователно коефициентът е изключен Δf и Δt винаги същото.

При експоненциалния растеж скоростта на промяна е пропорционална на материалните запаси, т.е. в същите периоди от време Δt, f (t) се увеличава със същия фактор (или със същия процент). Следователно коефициентът е изключен (f2/f1) (или. f (t2)/f (t1) ) винаги същото.

решения функциите на растеж