Производно, Геометрично значение на производното

Вижте също пример за изчисляване на производната в дадена точка

Допирателната към правата l в точката М0 се нарича права М0Т - пределно положение на секанта М0М, когато точката М клони към М0 по тази права (т.е. ъгълът клони към нула) по произволен начин.

Производната на функцията y = f в точката x0 Наречен границата на съотношението на нарастването на тази функция към нарастването на аргумента, когато последният се стреми към нула. Производната на функцията y = f
Терминът „производно“ (както и „второ производно“) е въведен от J. Lagrange (1797) и той също така дава обозначенията y ’, f’ (x), f ”(x) (1770,1779). Нотацията dy/dx се появява за първи път в Лайбниц (1675).

Геометричното значение на производната

Производната на функцията y = f (x) при x = xо е равна на наклона на допирателната към графиката на тази функция в точката Mo (хо, f (xо)), т.е.

къде - ъгъл на наклон на допирателната до оста Ox на правоъгълна декартова координатна система.

Уравнение на допирателна до линията y = f (x) в точката Mo (xo, yo) приема формата

Нормалата към кривата в някаква точка се нарича перпендикуляр на допирателната в същата точка. Ако f (x0) не е равно на 0, тогава линейно нормално уравнение y = f (x) в точката Mo (xo, yo) се записва, както следва:

Физическото значение на производната

Ако x = f (t) е законът на праволинейното движение на точка, тогава x ’= f’ (t) е скоростта на това движение в момент t. Скоростта на потока физически, химически и други процеси се изразява с помощта на производната.

Ако съотношението dy/dx за x-> x0 има ограничение отдясно (или отляво), то то се нарича производно отдясно (съответно производно отляво). Такива граници се наричат едностранни производни.

Очевидно функцията f
Геометрична интерпретация на производната как наклонът на допирателната към графиката се простира до този случай: допирателната в този случай е успоредна на оста Oy.

Функция, която има производна в дадена точка, се нарича диференцируема в тази точка. Функция, която има производна във всяка точка на даден интервал, се нарича диференцируема в този интервал. Ако празнината е затворена, тогава в нейните краища има едностранни производни.

Операцията по намиране на производната се нарича диференциация.