Пример (уравнение на Ойлер)
Задачата е задачата на Коши за квазилинейно уравнение(един).
Геометрична интерпретация на задачата в разширено фазово пространство.
Нека наречем тази повърхност неразделна. Тогава решаването на проблема означава изчертаване на интегрална повърхност, която се проектира едно към едно върху конфигурационното пространство и преминава през кривата ( ).
, Къдетоa (x, u) R 2 ,-векторно полехарактеристична система.
Нека пренапишем релацията (1) в еквивалентна векторна форма:
Тук
Така интегралната повърхност във всяка точка докосва векторното поле на характеристичната система (сравнете с O.D.U.).
От друга страна, характеристиката LМ= ), u = U ( )> също се отнася до векторното поле на характеристичната система, характеристиката лежи върху интегралната повърхност, или, с други думи, интегралната повърхност е стратифицирана в характеристики.
Нека бъде М0Su.Докажи това
Морал: как да решим проблема с Коши?
Вземете изходни точки М0, лежи на криваи от всяка точка за освобождаване на характеристики
Алгоритъм за решаване на проблема на Коши .
един)Нека изведем системата от характеристики под формата на уравнение (1):
2) За тази система поставяме проблема на Коши с начални условия на кривата (виж фиг. 1):
3)Нека решим системата, т.е. намери семейство характеристикиL , ( Аз0) системи (1):
Освен това приемаме, че условието
пет) Определяме функциятаu по формулата:
.
Изявление 1 (относно валидността на алгоритъма).
един)Нека покажем това
(5)
Тогава
2)Необходимо е да се докаже това
Поправяме точката MSu. Единствената характеристика минава през тази точкаL . Всички такива характеристики не се припокриват.