Прекрасни точки на триъгълника

Прекрасни точки на триъгълника - точки, чието местоположение се определя еднозначно от триъгълника и не зависи от реда, в който са взети страните и върховете на триъгълника.

Те обикновено се намират вътре в триъгълник, но и това не е необходимо. По-специално точката на пресичане на височини може да е извън триъгълника. За други забележителни точки на триъгълника вижте енциклопедията на центровете на триъгълника.

Съдържание

Забележителните точки на триъгълника са

• Точки на пресичане:
  • Медиана - центроид, център на тежестта (маси);
  • Бисектриса - вътрешен център или център на вписания кръг;
  • Антибисектори - център на антибисектори;
  • Бисектрисата на външните ъгли е центърът на обкръжението;
  • Височина - ортоцентър;
  • Средни перпендикуляри - центърът на ограничената окръжност;
  • Symedian - Lemoine point;
  • Бисектрисата на средния триъгълник (неговия център) е центърът на Шпикер;
  • Триъгълните ножици също са Spieker Center;
  • Три (или дори два) кръга, изградени, като на диаметър, върху сегмент, свързващ основите на вътрешната и външната бисектриса, издадени от единия ъгъл, са две точки на Аполоний;
  • Сегменти, свързващи върховете на триъгълника:
    • с допирни точки на противоположни страни и вписаната окръжност - точка Гергон;
    • с допирни точки на противоположни страни и заобикаля - точка на Нагел;
    • със съответните свободни върхове на равностранни триъгълници, изградени от страните на триъгълника (навън) - първата точка на Торичели;
    • със съответните свободни върхове на правилни триъгълници, изградени вътре в триъгълника - втората точка на Torricelli;
    • със съответните свободни върхове на триъгълници, подобни на оригиналния триъгълник и изградени по неговите страни - точки на Brocard;

Минимакс (крайни) точки на триъгълника са точките, в които се достига минимумът на някаква функция, например сумата от градусите на разстоянията до страните или върховете на триъгълник [1] .

Минималните точки на триъгълника са:

• Пресичането на три медиани с най-малката сума от квадрати на разстояния до върховете на триъгълника (теорема на Лайбниц).
• Точката на пресичане на трите медиани на триъгълника е единствената точка на триъгълника, така че три чевианци, изтеглени през него, разделят страните на триъгълника на шест сегмента с краищата си. Освен това произведението с дължините на три от тези шест сегмента, които нямат общи краища, максимално[2]
• Торичели точка (първа) с най-малката сума от разстояния до върховете на триъгълник с ъгли не повече от 120 градуса.
• Точка Лемуан с най-малка сума от квадрати от разстояния до страните на триъгълник.
• Основите на височините на остроъгълен триъгълник образуват ортотриъгълник с най-малкия периметър от всички триъгълници, вписани в този триъгълник.

Изо-точки са точките на триъгълника, даващи всякакви равни параметри на трите триъгълника, които се образуват, когато изо-точката е свързана чрез сегменти с три върха на триъгълника [3]. В резултат се формира форма на драконово око (виж фиг.)

Изо-точки на триъгълник, образуващи форма на драконово око

Изо-точките от този тип триъгълници са:

• ортоцентър (дава три триъгълника с равни радиуси от три описани окръжности около тях),
• точката на пресичане на медианите (дава три триъгълника с равни площи)
• intcenter (дава три триъгълника с еднакви височини)
• центъра на ограничената окръжност (дава три равнобедрени триъгълника с равни двойки страни),
• точка от равни периметри или изопериметрична точка (дава три триъгълника с равни периметри, вижте http://faaching.evansville.edu/ck6/tcenters/recent/isoper.html),
• Торичели точка (първа) (дава три триъгълника с равни тъпи ъгли от 120 градуса).

---