Преходно изследване на непрекъснати системи от порядък 2
3.2.4. Приложение към системи от втори ред.
3.2.4.1. Определение на система от втори ред.
Ние наричаме система от втори ред всяка система, управлявана от диференциално уравнение от втори ред с постоянни коефициенти:
Предполагаме, че коефициентите проверяват: a0, a2> 0; a1 і 0; b1 № 0.
Това диференциално уравнение може да бъде записано в следната форма:
Чрез позиране:, уравнението на система от втория се записва в следната му канонична форма:
§ w n: правилната пулсация на незаглушената система (rd/s), ако единицата време е в секунди;
§ K: статично усилване на измерение = [измерение на s]/[измерение на e];
§ z: коефициент или коефициент на затихване, понякога отбелязан m или x (безразмерен).
3.2.4.2. Трансферна функция.
За начални условия, за които се приема, че са нула (s (0) = 0, s '(0) = 0), приложението на преобразуването на Лаплас към диференциалното уравнение позволява да се получат:
Следователно, трансферната функция на система от два реда е:
3.2.4.3. Блокова схема.
Свързваме със системата блок, в който вписваме нейната трансферна функция, като посочваме, че E (p) и S (p) са съответно вход и изход на системата:
Полюсите на трансферната трансферна функция са корените на уравнението:
3.2.4.4. Преходна функция.
Това е отговорът на вълнението e (t) = Eo u (t); нека E (p) = Eo/p.
Теорема за крайната стойност, приложена към s (t):
Теория на крайната стойност, приложена към производната s '(t):
Следователно тангенсът в началото е нула. Кривата започва тангенциално към оста на времето, преминава през преходна фаза, преди да се стабилизира при крайната си стойност K Eo. Формата на преходния режим зависи от естеството на полюсите на трансферната функция, както е показано в следващото изследване по-долу.
а- Преходно поведение според коефициента на затихване:
Естеството на полюсите на трансферната функция определя преходното поведение. Това зависи по-специално от коефициента на затихване, както е показано от изследването на следното уравнение:
Ние имаме: .
Решенията r1 и r2 на горното уравнение са дадени в следващата таблица според коефициента на затихване z:
два истински полюса
Случай 1: z> 1 - Периодична диета:
Два реални полюса в знаменателя и е подходящо да ги свържем с две времеви константи, определени от:
Функцията за прехвърляне е написана:
Отговорът на стъпката s (t) за E (p) = E0/p:
и
Следната крива илюстрира формата на реакцията на стъпката като функция на z> 1:
Поведението на системата не е колебателно. Отговорът клони към крайната стойност KE0, без никога да я надвишава.
Колкото по-голям е коефициентът на затихване z, толкова по-голямо е времето за реакция. Свойството, което не е превишено (z і 1) е силно търсено в определени сервоконтроли, където превишаването е забранено.
Случай 2: z = 1 - Критичен апериодичен процент
Двата полюса са реални и идентични r = r1 = r2 = - w n и двете константи на времето, свързани с тях, също са идентични t = t 1 = t 2 = 1/w n .