Преброеност и неизброимост на множествата

Търсене на навигационен изглед

Множеството $ X $ се нарича преброено, ако между елементите от това множество и елементите от множеството $ N $ на всички естествени числа (т.е. елементите на множеството $ X $ могат да бъдат номерирани 1, 2,.).

Примери за.

Докажете, че следните набори са преброени:

Решение.

Нека установим еднозначно съответствие между елементите от това множество и естествените числа, например, като подредим множеството $ \ $, както следва:

$ 2, 4, 6, 8,. $$ и след това на всеки елемент от множеството, присвоявайки поредния му номер в тази последователност $$ 1, 2, 3, 4,. . $$ По този начин даденият набор е преброим.

Q.E.D.

Решение.

Поръчваме набора $ \ $, както следва:

$$ 2 ^ 1, 2 ^ 2, 2 ^ 3, 2 ^ 4,. $$ след това към всеки елемент от множеството, като въведе в кореспонденция неговия пореден номер в тази последователност. По този начин е установено еднозначно съответствие между дадения набор и множеството естествени числа. Следователно множеството $$ \ $$ е преброено.

Q.E.D.

1.68. Нека $ X_1, X_2, X_3,. - $ преброими комплекти. Докажете, че тяхната конкатенация $ \ bigcup \ limit_ X_n- $ е преброена.

Решение.

Нека $ X_n = \, x_,. х_. \>. $ Тогава елементите на множеството $ \ bigcup \ limit_ X_n $ могат да бъдат записани като следната таблица:

Нека изброим елементите на тази таблица, както следва: като първия елемент вземаме елемента $ x _, $ следващите два елемента са елементите по диагонала $ x_ $ и $ x _, $ след това преброяваме трите елемента на следващ диагонал $ x _, \, \, x_ $ и $ x_ $ и т.н. По този начин всеки елемент от множеството $ \ bigcup \ limit_ X_n $ може да бъде свързан с естествено число (поредният номер на елемента, ако те се броят съгласно горната схема). Следователно даденият набор е преброим.

Преброеност и неизброимост на множествата

Търсене на навигационен изглед

Навигация