Полуколки и системи от линейни уравнения - MathHelpPlanet
Дискусии и решаване на проблеми по математика, физика, химия, икономика
Часова зона: UTC + 3 часа [лятно часово време]
Въведение в анализа
Теория на опашките (QS)
Резултатите, получени в предишните лекции, могат да бъдат разширени до системи с линейни уравнения на формата
където всички елементи [математика] a_,
1 \ leqslant i \ leqslant n,
1 \ leqslant j \ leqslant n [/ math] и [math] b_i, 1 \ leqslant i \ leqslant n [/ math], са елементи на някакъв затворен полуколектор и ние говорим за решението на системата (3.16) в това полуколко.
За да направим това, нека разгледаме множеството [math] \ mathbb _ (\ mathcal) [/ math] от правоъгълни матрици от тип [math] m \ times n [/ math] с елементи от произволно идемпотентно полукопиране [math] \ mathcal = (S, +, \ cdot, \ bold, \ bold) [/ math]. Наборът от всички квадратни матрици от порядък [math] n [/ math] с елементи от полукорене [math] \ mathcal [/ math] ще се обозначава с [math] \ mathbb_n (\ mathcal) [/ math]. С [math] \ mathsf (\ mathcal) [/ math] обозначаваме множеството от всички матрици от всякакъв тип с елементи от [math] \ mathcal [/ math] .
Операциите на събиране и умножение на матрици се дефинират по абсолютно същия начин, както в числовия случай, като се отчита фактът, че добавянето и умножението на матрични елементи се разбират по смисъла на даден идемпотентен полукопиращ [math] \ mathcal [/ математика], а именно:
1) сумата от матрици [math] A = (a _) [/ math] и [math] B = (b _) [/ math] от тип [math] m \ times n [/ math] се нарича матрица [math] C = (c_) [/ math] от същия тип с [math] елементи c_ = a_ + b _, [/ math] [math] i = \ overline,
j = \ overline [/ math] и използвайте обозначението [math] C = A + B [/ math];
2) произведението [math] AB [/ math] на матрици [math] A = (a _) [/ math] от тип [math] m \ times n [/ math] и [math] B = (b _) [/ math] от тип [math] m \ times p [/ math] е матрица [math] C = (c _) [/ math] от тип [math] m \ times p [/ math] с елементи
Нулевите [math] (O) [/ math] и unit [math] (E) [/ math] матрици от произволен ред се дефинират като се използват единица и нула на полуколелото.
На множеството [math] \ mathbb_n (\ mathcal) [/ math] на всички квадратни матрици с фиксиран ред [math] n [/ math], можете да дефинирате алгебрата
Теорема 3.8. Алгебрата [math] \ mathsf_n (\ mathcal) [/ math] е идемпотентно полукопиране. Ако полукоренето [math] \ mathcal [/ math] е затворено, тогава semiring [math] \ mathsf_n (\ mathcal) [/ math] също е затворено.
Операциите на сумата и произведението на матриците са дефинирани по такъв начин, че всички свойства на операциите на събиране и умножение в полукопче се запазват за съответните операции върху матрици. Следователно аксиомите за полукопиране са валидни за сумата и произведението на матрици от [math] \ mathsf_n (\ mathcal) [/ math] и освен това операцията по добавяне на матрици е идемпотентна. Следователно, [math] \ mathsf_n (\ mathcal) [/ math] е идемпотентен полукорот.
Нека изясним значението на релацията на реда в това идемпотентно полукопиране. По дефиницията на естествения ред на идемпотентно полуколене, неравенството [math] A \ leqslant B [/ math] за матриците [math] A [/ math] и [math] B [/ math] означава, че [math] A + B = B [/ math], или за всички [math] i, \, j [/ math], [math] a_ + b_ = c _ [/ math]. Следователно, [math] A \ leqslant B [/ math] тогава и само ако за всички [math] i, \, j [/ math] [math] a_ \ leqslant b _ [/ math] .
Нека [math] \ mathcal [/ math] е затворен полуколектор. Нека докажем затвореността на идемпотентното полукопиране [math] \ mathsf_n (\ mathcal) [/ math] и съществуването на точен супремум за всяка последователност от матрици в [math] \ mathsf_n (\ mathcal) [/ math] .
Нека [math] \ _> [/ math] е произволна последователност от квадратни матрици [math] A_m = (a_ ^ m) [/ math] от порядък [math] n [/ math]. Помислете за матрицата [math] \ textstyle> a _ ^ \ Bigr)> [/ math]. Всеки елемент [math] \ textstyle = \ sum \ limit_> a _ ^> [/ math] на тази матрица е точната горна граница на поредицата от елементи [math] a _ ^ [/ math]. Тези точни горни граници съществуват, защото [math] a _ ^ [/ math] са членове на затвореното полукопиране [math] \ mathcal [/ math]. Тъй като добавянето на матрици и съотношението на реда в полукопирането на матрици са дефинирани по елемент, матрицата [math] B [/ math] ще бъде точната горна граница на последователността на матриците [math] A_m [/ math] .
Нека сега докажем непрекъснатостта на умножението в [math] \ mathsf_n (\ mathcal) [/ math], т.е. че за всяка последователност [math] \ _> [/ math] на матрици и произволна матрица [math] B [/ math]
Матрицата [math] \ textstyle) = \ sum A_m> [/ math] е точната горна граница на последователността [math] \ _> [/ math]. Тогава имаме
Елементът [math] c _ [/ math] е точната горна граница на последователността [math] \ ^ \> _> [/ math] на елементи от матриците [math] A_m [/ math], т.е.
Използвайки непрекъснатостта на умножението в оригиналното полукопиране [math] \ mathcal [/ math], получаваме
Използвайки непрекъснатостта на добавяне, получаваме
По същия начин се доказва, че [math] \ textstyle [/ math] .
Полуматрична матрица
Полукоренето [math] \ mathsf_n (\ mathcal) [/ math] ще се нарича полукопиране на матрици над полуколенето [math] \ mathcal [/ math]. Доказаната теорема ни позволява да приложим теорема 3.7 към затворени полукольца на матрици върху някои затворени полукольца [math] \ mathcal [/ math] и да решим произволни уравнения на формата (по отношение на неизвестната матрица [math] X [/ math] ):