Полином на Лагранж
Интерполационният полином на Лагранж се използва при апроксимиране на таблични записи на данни под формата на функция, която е много добра апроксимация, ако осцилира малко и може да даде голяма грешка, ако за функции с бързо производно са избрани малък брой интерполационни възли
По принцип таблица с данни на формуляра
Необходимо е да се конструира полином, който би приел стойността Y [i] във възлите X [i] .
Лагранж решава този проблем и желаният полином има формата
където полиномите са с един ред по-малко от количеството данни, изчислено по формулата
Функциите се наричат лагранжеви коефициенти, те имат свойството
Полином на формата
се нарича интерполяционен полином на Лагранж.
Задача 1. За функцията y = cos (Pi * x), конструирайте интерполационния полином на Лагранж. Вземете точки x [0] = 0 за интерполационни възли; x [1] = 1/4; x [2] = 1/3; x [3] = 1/2. Начертайте функцията и възлите на графиката и изградете оригинала.
Изчислете стойностите на функциите в възли
и дават под формата на таблица
Използвайки горната формула, конструираме интерполиращия полином на Лагранж
Няма да правим ръчно опростяване.
За това използваме математическия пакет Maple, в него много бързо се решават проблеми във висшата математика, физика, механика, химия.
Задаване на стойността на функцията
> рестартиране;
> с (парцели):
> x [0]: = 0; x [1]: = 1/4; x [2]: = 1/3; x [3]: = 1/2;
Намерете стойността на функцията в точките на интерполация в цикъла
> за i от 0 до 3 do y [i]: = cos (Pi * x [i]) end do;
Тук се използва променливата t, тъй като променливата x е от типа масив и не може да се използва. За удобство разширяваме (поредица) полинома на Лагранж в степени на промяна