Основа на векторното пространство »Линейна алгебра
Сайт за раздела за висша математика - линейна алгебра
Определение. Система от вектори на векторно пространство над поле K се нарича генерираща (генерираща) система от вектори на това векторно пространство, ако представлява някой от неговите вектори, т.е. ако има набор от скалари, така че .
Определение. Система от вектори на векторно пространство се нарича минимална генерираща система, ако след премахване на който и да е вектор от тази система, тя престане да бъде генерираща система.
Коментирайте. От дефиницията веднага следва, че ако генериращата система от вектори не е минимална, тогава има поне един вектор на системата, след премахване на който от системата, останалата система от вектори все още ще генерира.
Лема (за линейно зависима генерираща система.)
Ако в линейно зависима и генерираща система от вектори един от векторите е линейно изразен по отношение на останалите, тогава той може да бъде премахнат от системата и останалата система от вектори ще генерира.
Доказателства. Нека системата да бъде линейно зависима и генерираща и нека един от нейните вектори да бъде линейно изразен по отношение на други вектори на тази система.
За категоричност и за простота на нотирането, нека приемем това
.
Тъй като е генерираща система, има набор от скалари, такива че
.
,
тези. всеки вектор x се изразява линейно по вектори на системата, което означава, че е генерираща система, p.t.d.
Следствие 1. Линейно зависимата и генерираща система от вектори не е минимална.
Доказателства. Това веднага следва от лемата и дефиницията на минималната генерираща система от вектори.
Следствие 2. Минималната генерираща система от вектори е линейно независима.
Доказателства. Ако приемем обратното, стигаме до противоречие със следствие 1.
Определение. Система от вектори на векторно пространство се нарича максимална линейно независима система, ако при добавяне на какъвто и да е вектор към тази система тя стане линейно зависима.
Коментирайте. От дефиницията веднага следва, че ако системата е линейно независима, но не максимална, тогава има вектор, който при добавяне към системата води до линейно независима система.
Определение. Основа на векторно пространство V над поле K е подредена система от неговите вектори, представяща всеки вектор на векторно пространство по уникален начин.
С други думи, система от вектори на векторно пространство V над поле K се нарича негова основа, ако има уникален набор от скалари, така че .
Теорема. (На четири еквивалентни определения на база.)