ОПИСАТЕЛНАТА ТЕОРИЯ ЗА НАБОРИТЕ е
- клон на теорията на множествата, който изучава вътрешната структура на множествата в зависимост от онези операции, с помощта на които тези множества могат да бъдат конструирани от множества с относително прост характер (например затворени или отворени подмножества от даден евклидов, метричен или топологичен пространство). Тези операции включват обединяване, пресичане, приемане на допълнение, проектиране и т.н. D. t.m. възниква в началото на 20 век. в трудовете на Е. Борел, Р. Байре и А. Лебег във връзка с проблема за измеримостта на множествата. Извикват се измерваеми с Борсго множества Борел комплекти, или B-комплекти. От друга страна, R. Baer даде класификация на функциите, наречени по-късно функции на Baire, и доказа редица теореми за тези функции (вж. Класове на Баер, теорема на Баер). А. Лебег доказа, че В-множествата са идентични Комплекти на Лебег Функциите на Baire, дадоха първата класификация на B-множествата и доказаха непразнината на всеки от нейните класове.
Изследването на B-множества се превърна във важна задача на диференциалната теория и първата задача беше да се изясни въпросът за мощността на B-множествата. След въвеждането Мерки на Лебег се оказа, че класът на измеримите множества е много по-широк от класа на B-множествата и възникна въпросът за намирането на средство за установяване на измеримостта на този или онзи набор. Решаването на този въпрос във всеки конкретен случай се свързва, като правило, с изясняването на процеса, чрез който може да се изгради този набор, т.е. неговата описателна структура. Така беше определен един по-важен кръг от проблеми на диференциалните метрики - търсенето на възможно най-широкия клас операции върху множества (запазване на измеримостта) и изследване на свойствата на резултатите от тези операции. Решението на тези въпроси, възникнали в трудовете на френските математици, беше дадено главно от руски математици - Н. Н. Лузин и неговото училище.
Един от най-важните въпроси - въпросът за мощността на В-множествата - беше решен от П. С. Александров [1] през 1916 г., който конструира за това А-операция. Той показа, че посредством A-операцията, започвайки от интервали, е възможно да се конструира всеки B-набор и че всеки неизброим набор, получен от A-операцията (и наречен A-набор), съдържа перфектен набор и следователно, има мощността на континуума. Този резултат е получен независимо от Ф. Хаусдорф. М. Я. Суслин [2] показа, че има A-множество, което не е Борел. Той също така представи името на А-комплекта, както и А-операцията (в чест на П. С. Александров). Извикват се A-множества. също набори Суслин или по-рядко аналитични набори. За да бъде A-набор B-набор, е необходимо и достатъчно, че: 1) неговото допълнение отново е A-множество (Критерий Суслин); 2) това е резултат от А-операцията с несъчетани членове (Критерий на Лузин). Всички A-множества са измерими и имат Собствеността на Баер. Открити са следните нови начини за получаване на A-набори. еквивалентни A-операции: A-множествата са проекции на B-множества (и дори Gd); A-множествата са непрекъснати изображения на пространството I на ирационални числа; и следователно A-множествата са непрекъснати образи на B-множества [3]. В същото време едно непрекъснато едно към едно (и дори преброено множествено [4]) изображение на B-набор е B-набор и всеки неизброим B-набор е обединение на най-много преброяващ се набор и непрекъснато едно към едно изображение на пространството I (виж [3]). И накрая, Н. Н. Лузин намери друг важен начин за дефиниране на A-множествата, използвайки операцията на ситото, която той въведе (вж. Сито Лузин).
Индексите и съставните части на трансфинитните сита се превърнаха в мощен инструмент за изучаване на свойствата на А-множествата и техните допълнения. - CA-набори.