Олимпиада - 8 клас
1. - 34-та олимпиада - задачи и решения 1.-34. Олимпиада - 1
Упражнение 010834: Кой има пръстена? Рут, Фриц, Евалд, Бриджит и Ерика играят игра с пионка. Рут напуска стаята; междувременно едно от другите деца крие пръстен с него. Рут се връща, за да разбере кой има пръстена. Сега всяко дете прави три изявления. От тези твърдения две са верни, а едното е невярно. Въз основа на тези твърдения Рут трябва да открие кой има пръстена, без да гадае. Евалд: 1. Нямам пръстена. 2. Фриц има пръстена. 3. Играл съм тази игра много пъти. Фриц: 1. Нямам пръстена. 2. Евалд греши, когато смята, че имам пръстена. 3. Ерика има пръстена. Сега Рут прекъсва и казва: Трябва да помисля за това, може би сега ще разбера кой има пръстена. И след няколко минути Рут казва кой има пръстена. Откъде знае? Упражнение 010835: Точките P и Q са дадени с разстояние 5 cm. Постройте два паралела, единият от които преминава през P, другият през Q и които са a = 3 cm един от друг. Обосновете конструкцията! Колко различни опции има на нивото? 1.-34. Олимпиада - 5-та
Упражнение 020814: Добавете липсващите цифри към следния проблем с разделянето! Как бяха определени цифрите? (Причина!):? = 8 Упражнение 020815: Докажете следната теорема: 0 Ако центърът на обиколката на триъгълника лежи на една от страните му, триъгълникът е правоъгълен! Упражнение 020816: Даден е правоъгълник ABCD, чиито страни са разделени в съотношение 1: 2, както е на фигурата. Ние наричаме подточките P, Q, R, S и ги свързваме непрекъснато. D S R C a) Извършете тази конструкция за правоъгълника със страни AB = 10 cm и BC = 7 cm! В б) Какъв квадрат е квадратът Q QRS? (Доказателство!) A P B c) Как се свързва площта на квадрат P QRS с тази на правоъгълника ABCD? Резултатът важи ли и за други правоъгълници, разделени по този начин? (Причина!) 1.-34. Олимпиада - 7
2. Олимпиада по математика 2-ро ниво (Kreisolympiad) Упражнения Упражнение 020821: Следното изречение трябва да бъде доказано: Ако дробът a b a + b не може да бъде съкратен, тогава a b не винаги може да бъде съкратен. Упражнение 020822: Според плановете на XXII. Партиен конгрес на КПСС, добивът на въглища през 1980 г. е с 687 млн. Т по-висок от този през 1960 г. Производството на въглища през 1980 г. е 234% в сравнение с 1960 г. Изчислете планираното производство на въглища за 1960 г.! Закръглете до пълния милион t! Упражнение 020823: Изчислете: m 2 n 2 mn + m2 + 2mn + n 2. m + n Упражнение 020824: Кое x отговаря на следното уравнение: (x 2 1) (x: 3 3 1) (3x = 2 4 1) (x: 6 2 2)? 3 Упражнение 020825: Въжените въжета често се състоят от нишки, които от своя страна се състоят от отделни стоманени жици. Нишките са увити около намазнена конопена сърцевина, която смазва въжето отвътре. Фигурата показва напречното сечение през такова телено въже, което се състои от 42 проводника и (сиво оцветено) конопено ядро. Всеки проводник има диаметър 1 mm. Какъв е диаметърът на кръга около напречното сечение на въжето? Причина! 1.-34. Олимпиада - 8
Упражнение 020835: Докажете следната теорема: Ако начертаете двата диаметра през една точка на пресичане на две окръжности, тогава останалите им крайни точки лежат в права линия с втората точка на пресичане на окръжностите. Упражнение 020836: а) Има три прави g 1, g 2 и g 3, нито една от които не е перпендикулярна на друга. Те се пресичат в точка S. На g 1 има друга точка А. Намерете триъгълника ABC, в който височините лежат на правите линии. б) Проучете всички случаи, в които 2 реда са перпендикулярни един на друг и точка А лежи на един от тези редове или на третия! 1.-34. Олимпиада - 11
а) Постройте трапеца! б) Обосновете конструкцията! 1.-34. Олимпиада - 15
е) правоъгълник (не квадрат) ж) петоъгълник з) осмоъгълник? Кои възможни модели не са включени в списъка? Направете скица за всяка фигура на секцията, от която можете да видите как трябва да се направи плоският разрез, ако искате да запазите съответната фигура на секцията! 1.-34. Олимпиада - 17-ти
4-та олимпиада по математика 2-ро ниво (кръгови олимпийски игри) Упражнения Упражнение 040821: Всеки трапец ABCD трябва да се трансформира в правоъгълник с еднаква площ (конструкция!). Упражнение 040822: Използвайте произволно трицифрено число, за да образувате числото с обратната последователност от цифри и докажете, че разликата между двете числа се дели на 99! Упражнение 040823: Дадени са двата съседни ъгъла α и β с върха A и точка D на общия крак (виж фиг.). Α β α D a) Постройте триъгълника ABC от тази фигура по такъв начин, че AD е ъглополовяща! б) При какво условие триъгълникът ABC става равностоен? Упражнение 040824: Питър е в летния лагер. Той иска да купи Браузе за 21 фенгина на бутилка за групата си и взема празни бутилки със себе си. За откупения депозит (30 пфенига за всяка от празните бутилки) той би искал да купи колкото се може повече бутилки сода. За всяка бутилка трябва да се депозират още 30 депозита. Оказва се, че е получил 6 бутилки по-малко, отколкото е отстъпил. Връща и пари. Колко празни бутилки взе със себе си Питър? (Няма само едно решение.) 1.-34. Олимпиада - 18
4-та олимпиада по математика 3-то ниво (областна олимпиада) Упражнения Упражнение 040831: Ако размените цифрите на двуцифрено число n, ще получите число, което е 8 3 число n. умножен по размера на n. Упражнение 040832: Постройте правоъгълен триъгълник, ако са дадени радиус r на вписаната окръжност и дължината a на катета, и опишете конструкцията! При какви условия може да се извърши строителството? Упражнение 040833: От 31 ученици от 4 клас 21 могат да плуват, 24 да карат колело и 19 да карат кънки. За състезание се изискват ученици, които могат а) да плуват и да карат, б) да плуват и да карат кънки, в) да карат и да карат кънки, г) да плуват и да карат и да карат кънки. Колко ученици в класа са на разположение за а), б), в) и г) поне, колко най-много? Упражнение 040834: Дадени са три сегмента с дължини p 1, p 2 и r с p 1 c (2) a + b = c + d (3) a + d