Монотонността е
Монотонна функция Е функция, чийто инкремент не променя знака, тоест или винаги е неотрицателен, или винаги неположителен. Ако освен това нарастването не е нула, тогава се извиква функцията строго монотонен.
Съдържание
Дефиниции
Нека да се даде функция Тогава
- функция е Наречен нарастващ На М, ако
- функция е Наречен строго се увеличава На М, ако
- функция е Наречен намаляващ На М, ако
- функция е Наречен строго намаляващ На М, ако
(Строго) нарастваща или намаляваща функция се нарича (строго) монотонна.
Друга терминология
Понякога се наричат възходящи функции не намаляващ, докато намаляват функциите не-увеличаващ се. Точно нарастващите функции се наричат просто нарастващи, а строго намаляващите функции просто намаляват.
Свойства на монотонните функции
- Монотонната функция, дефинирана на интервал, е измерима по отношение на сигма алгебрите на Борел.
- Монотонната функция, дефинирана на затворен интервал, е ограничена. По-специално, той е интегрируем от Лебег.
- Монотонната функция може да има само прекъсвания от първи вид. По-специално, множеството точки на прекъсване е най-много преброено.
- Монотонната функция е диференцируема почти навсякъде по отношение на мярката на Лебег.
Условия на монотонност за функция
- (Критерий за монотонност на функция с производна на интервал) Нека функцията е непрекъсната включена (а,б), и във всяка точка има производнатае'(х). Тогава е се увеличава с (а,б) ако и само ако е намалява с (а,б) ако и само ако
- (Достатъчно условие за строгата монотонност на функция с производна на интервал) Нека функцията е непрекъсната включена (а,б), и във всяка точка има производната е'(х). Тогава ако тогава е строго се увеличава с (а,б); ако тогава е стриктно намалява с (а,б).
Обратното обикновено не е вярно. Производната на строго монотонна функция може да изчезне. Наборът от точки, където производната не е нула, трябва да е плътен на интервала (а,б). По-точно се провежда
- (Критерий за строга монотонност на функция с производна на интервал) Нека производната да бъде дефинирана навсякъде на интервала е'(х). Тогава е строго се увеличава на интервала (а,б) тогава и само ако са изпълнени следните две условия: