Метод на Гаус (метод на елиминиране) - Matheretter
Време за четене: 15 мин
С метода на Гаус (съкратено от "метод на елиминиране на Гаус") могат да бъдат определени решения на линейни системи от уравнения с всякакъв размер. Процесът е специална форма или многократно изпълнение на процеса на добавяне.
Гаусов метод за решаване на LGS
Сега искаме да решим LGS по-долу:
\ (\ begin \ text & 3 x & + & 3 y & - & 1 z & = 5 \\ \ text & 4 x & + & 5 y & + & 1 z & = -1 \\ \ text & 2 x & - & 5 y & + & 7 z & = 9 \ end \)
Както вече подсказва пълното име на метода на Гаус, ние се опитваме да премахнем няколко променливи с помощта на метода на добавяне. Продължаваме да правим това, докато не получим формуляра за стъпка (наричан още формуляр за стъпка на линия). Системата от уравнения в стъпкова форма изглежда по-късно по следния начин:
Така че ние елиминираме променливата x във второто уравнение и променливите x и y в третото уравнение. За системи от уравнения с повече уравнения/променливи можете да запомните, че първото уравнение остава същото, но с всяко следващо уравнение се премахва още една променлива (започвайки отляво), така че само една променлива е в последния ред.
Важно е илюстрацията да е само за това какъв вид форма има такава стъпаловидна форма. Стойностите на коефициентите пред непропуснатите променливи и стойностите вдясно от знака за равенство обаче могат да се променят и не е задължително да са равни на стойностите на оригиналния LGS, както е на фигурата.
Нека се опитаме да направим нашата LGS форма на стъпка:
\ (\ begin \ text & 3 x & + & 3 y & - & 1 z & = 5 \\ \ text & 4 x & + & 5 y & + & 1 z & = -1 \\ \ text & 2 x & - & 5 y & + & 7 z & = 9 \ end \)
На първо място искаме да премахнем x във второто уравнение (терминът 4 x x). Използваме метода на добавяне и търсим стойност а, умножена по 3, която дава 4, за да можем да извадим първото уравнение от второто и х е пропуснато. Каква е стойността на a в 3 · a = 4 ?
Ако трансформираме в a, получаваме a = - 4/3. Така че трябва да умножим уравнение I по - 4/3, за да можем да добавим I към II и x изчезва.
Ако направим това и наречем трансформираното ни уравнение I ', получаваме:
Нека напишем уравнение II под I 'и направим добавянето I' + II:
Сега искаме x да бъде пропуснато в уравнение III, така че умножаваме уравнение I по \ (\ ляво (- \ frac \ дясно) \) и получаваме I ":
\ (\ begin \ text & 3 x & + 3 y & - 1 z & = 5 \ qquad |: \ left (- \ frac \ right) \\ \ text & 3 x \ left (- \ frac \ дясно) & + 3 y \ ляво (- \ frac \ дясно) & - 1 z \ ляво (- \ frac \ дясно) & = 5 \ ляво (- \ frac \ дясно) \\ \ text & -2 x & -2 y & + \ frac z = - \ frac \ end \)
Нека добавим I "и III заедно:
Сега пишем I, II 'и III' един под друг:
Вече имаме първия си етап:
Сега y в уравнение III 'трябва да бъде премахнато, ние отново прилагаме процедурата за добавяне, а именно за последните две уравнения:
И двете уравнения имат еднакви променливи y и z, можете да си представите, че имате LGS само с 2 променливи. Вече научихме как да разрешим подобно нещо. И така, елиминираме y в III ', като умножим II' по 7, тъй като:
Така че изчисляваме уравнение II'7 и извикваме новото уравнение II ':
\ (\ текст 0 + 1 y + \ frac z = - \ frac \ qquad | 7 \\ \ текст 0 + 7 y + \ frac z = - \ frac \)
Сега пишем II "и III" един под друг и добавяме уравненията. Сега наричаме сумата III ":
След това можем да напишем уравненията I, II 'и III' 'едно под друго и имаме LGS в стъпкова форма:
Такива LGS вече могат да бъдат решени сравнително лесно. Започвате с най-ниското уравнение и определяте стойността за единствената променлива в уравнението. Като вмъкнете променливата, чиято стойност вече е известна, в уравнението по-горе и след това я решите, получавате стойността на следващата променлива. След това поставяте всички известни променливи в по-горното уравнение и след това решавате отново.
Така че първо решаваме третото уравнение III ":
Сега можем да вмъкнем нашата стойност за z във второто уравнение II 'и да решим за y:
\ (\ text 0 + 1 y + \ frac z = - \ frac \ qquad | \ textcolor \\ 0 + 1 y + \ frac \ textcolor = - \ frac \\ 1 y - \ frac = - \ frac \\ 1 y = - \ frac + \ frac \\ y = - \ frac \\ y = -3 \)
Нуждаем се само от променливата x. Изчисляваме тази променлива чрез вмъкване на y и z в уравнение I:
\ (\ текст 3 x + 3 y - 1 z = 5 \ qquad | \ textcolor \ text < und >\ textcolor \\ 3 x + 3 \ textcolor - 1 \ textcolor = 5 \\ 3 x - 9 + 2 = 5 \\ 3 x - 7 = 5 \\ 3 x = 12 \\ x = 4 \)
Като решение на LGS имаме:
Ако поставим тези стойности в трите оригинални уравнения като тест, виждаме, че и трите уравнения работят.
\ (\ begin \ text & 3 x & + & 3 y & - & 1 z & = 5 \\ \ text & 4 x & + & 5 y & + & 1 z & = -1 \\ \ text & 2 x & - & 5 y & + & 7 z & = 9 \ end \)