Метод на Д’Аламбер
В тази лекция решението на задачата на Коши за вълновото уравнение
Етап 1. Заменете променливите (x, t) нови променливи (ξ, η), в която вълновото уравнение приема различна форма: Такова заместване се извършва от формулите
След заместване на тези производни във вълновото уравнение получаваме:
Q.E.D.
Стъпка 2. Трансформираното уравнение се решава лесно чрез две последователни интеграции (първо по отношение на променливата η, и след това от ξ):
Където C1 (η) Е произволна функция на η. Защото C (ξ) Тогава е произволна функция и също е произволна функция.
И накрая, общо решение U (ξ, η) има формата
Стъпка 3. За да намерим общото решение на първоначалното уравнение, ние заместваме в (25) вместо ξ и η изрази (24):
Стъпка 4. Нека дефинираме функциите С1 и С2, използвайки началните условия от (23). След заместване на първото условие получаваме
Намерете производната на функцията U в (26) по отношение на променливата т и заменете второто условие:
В резултат ще имаме система от уравнения
Ако интегрираме второто уравнение на система (27) над х вариращи от xo преди х, получаваме следната система:
Добавяйки тези уравнения, получаваме
Ако извадим второто уравнение от първото уравнение на системата, тогава ще имаме
Нека сега заместим получените функции в общото решение (26):
Нека разменим границите на интегриране във втория интеграл в скоби в (28). В резултат на това получаваме решение на първоначалния проблем на Коши
Извиква се формула (29) формула на д’Аламбер.
След това изследваме решението, дефинирано от формулата на д’Аламбер.
Пространствено-времева интерпретация на формулата на д’Аламбер
Когато изучаваме формулата на д’Аламбер, ще изхождаме от физическото значение на вълновото уравнение. Помислете за уравнението на свободните вибрации на безкраен низ
и начални условия
Такъв проблем на Коши, чрез промяна на независимата променлива, се свежда до проблем (23):
Решението на трансформирания проблем има формата (виж формулата на д'Аламбер (29):
Ако сега вместо τ заместител в, тогава получаваме решение на първоначалния проблем
Преди да пристъпим към физическата интерпретация на тази формула, правим следната забележка.
Коментирайте. Нека разгледаме отделно функциите C1 (x-at) и C2 (x-at), включени в общото решение (26) (коефициент и се появи в тях, защото сега се интересуваме от по-общо уравнение (30)). Нека започнем с функцията C1 (x-at) и изграждане на графики на тази функция с нарастващи стойности т: t = до, t = t1, t = t2 и т.н. (виж фиг. 8).
Ако тези снимки се прожектират на екрана на свой ред (както в анимационните филми), те ще "тичат" вдясно. Извиква се процесът на преместване на отклонението по струната вълна. Освен това коефициентът и е скорост на разпространение на вълната. Всъщност, да предположим, че паралелно на оста х наблюдателят се движи със скорост и. Нека в някакъв момент да се той беше в точката xo. Тогава за интервала наблюдателят ще се премести надясно със сума и ще бъде в точката Ако в точката xo наблюдателят видя отклонението на струната с количество в момента т размерът на отклонението ще бъде абсолютно същият! Тоест наблюдателят ще види формата на струната, която не се променя.
Втора функция C2 (x-at) също представлява вълна, но само тя ще се разпространява със скорост и наляво. Често функционира C1 (x-at) и C2 (x-at) се извикват съответно, вълна напред и назад. Така че основното решение е U (x, t) (формула (26)) на вълновото уравнение е суперпозиция на напред и назад вълни.