МАТЕМАТИКА Страници 151 - 196 - Flip PDF Изтегляне FlipHTML5
Описание: A819
Прочетете текстовата версия
Урок 1 Пропорционални сегменти в правоъгълния триъгълник Ситуация на проблема Дядо има два парцела, един квадратен и един правоъгълен. Hh C Направих скица за тях и маркирах с h h страната на квадрата и с p и q страните на правоъгълника. На моята скица той нарисува J A pDp q B правоъгълен триъгълник и ми каза, че E I неговите земи имат равни площи: Така ли е h2 = p · q. вярно? Искаме да знаем! Каква е връзката между дължините на страните на правоъгълните триъгълници? Помним . Средната геометрична стойност на две положителни числа е квадратният корен на техния продукт. Пример: şmi 1e8dieasgteeommgetrică2 ? 18 36 6. Геометрична средна стойност на числа 2 от две числа Като цяло положителното число h е положително m и n, ако h2 = m ∙ n или h = m ⋅ n. Отношението може да се запише и под формата на пропорция: m = h. Hn Оттук и друго име на геометричната средна стойност, а именно това на пропорционалната средна стойност. Нека го докажем! Теорема В правоъгълен триъгълник височината, съответстваща на хипотенузата, е средната геометрична стойност на височината на сегментите, определени от нея върху хипотенузата. Хипотеза: Заключение: A ⇒ AH 2 BH ? HC 'ABC, A 900; AH A BC Доказване: B H C ∆ABH
∆CAH (Обединеното кралство). От това следва, че BH = AH, така че AH2 = BH · HC AH HC Взаимно Ако в триъгълник ABC, където ъглите B и C са остри, височината в A на теоремата за височината е пропорционалната средна стойност между сегментите, определени от него от противоположната страна, тогава триъгълникът е правоъгълна в А. Хипотеза: Заключение: A 'ABC; AH A BC; AH 2 BH ? HC ⇒ BAC = 90 ° Доказателство: B HC Защото AH2 = BH · HC води до BH = AH. Ние мислим критично AH HC и конструктивно! Освен това AHB ≡ CHA (прави ъгли). Оказва се, че ∆AHB
∆CHA (L.U.L.). Така че B ≡ CAH, C ≡ BAH. В заключение, BAC = 90 °. Какво се случва, ако точката H е в A извън страната BC? Анализирайте следващата фигура, след това отговорете! HB C 152 Учебна единица 8: Метрични отношения в правоъгълния триъгълник
В предишните триъгълници ABC беше нарисувана височината AH на триъгълника. Точка H е ортогоналната проекция на точка A от страната BC. Определения A Ортогоналната проекция на точка върху права d е подножието на перпендикуляра, изтеглен от тази точка на линията. Ако точката е вдясно A 'B = B', нейната проекция съвпада със самата точка. D Ортогоналната проекция на отсечка върху права MN CA B E може да бъде отсечка или точка. F ’M’ N ’C’ A ’B’ E ’d F Нека го докажем! Вече можем да посочим ново свойство на правоъгълния триъгълник: Теорема В правоъгълен триъгълник дължината на катета е средната геометрична стойност между дължината на хипотенузния крак и проекцията на този крак върху хипотенузата. Хипотеза А: Заключение: „ABC, A 900 ⇒ AB2 BH ? Пр.н.е. c2 a ? m cb AH A BC AC2 CH ? CB b2 a ? n B m n C H a C Доказателство: BH = AB. Така че AB2 = BH · BC. E AB BC ∆ABH
∆CBA (Обединеното кралство). Оказва се, че Нека забележим! A D Теоремата за крака описва връзка между сегментите BA, BH и BC, които имат общ край. BH Теоремата за крака гласи, че квадратът ABDE и правоъгълникът BHJG с BG = BC, оцветени на фигурата вдясно, са еквивалентни (те имат равни площи). GJ F Взаимно Ако в триъгълник ABC, където ъгълът B е остър, страната AB е средната геометрична стойност на теоремата за крака между BC и проекцията на страната AB върху страната BC, тогава триъгълникът е правоъгълен в A. A Хипотеза: Заключение: BH ∆ABC; AH ⊥ BC ⇒ BAC = 90 ° C AB2 = BH · BC Ние мислим критично Попълнете в тетрадката доказателството за реципрочната теорема за крака. и градивен! Учебна единица 8: Метрични отношения в правоъгълния триъгълник 153
Предложени задачи 1 1. Използвайки дължината на страната на решетъчния квадрат като мерна единица, изчислете хипотенузите на триъгълниците по-долу. г) е) и) а) з) б) в) д) ж) й) 2. Изчислете дължините, обозначени с букви за триъгълниците по-долу. x yz 34 3 u 4 2,5 t 30˚ 24 v 3 2 3. Намерете дължините на страните AD 6. На следващата фигура AQP на триъгълниците на фигурата ABCQ и QMNP на съседния CO 3a квадрат). Това е съответно страната с дължина M N G a и 3a. Изчислете площта и периметъра B HF C на четириъгълника 4. Покажете, че следните тризнаци с числа могат да BMOQ. представлява дължините на страните на някои правоъгълни триъгълници: 7. Определете дължината d на товарната рампа в а) (3, 4, 5); изображението по-долу. б) (5, 12, 13); в) (17, 15, 8). 2,5 m d 5. Открийте чрез изчисление кой от триъгълниците на 6 m отдолу е правоъгълен. Посочете хипотенузата във всеки отделен случай. 8. Намерете стойността на x така, че триъгълниците отдолу да са равнобедрени правоъгълници. C 16 A D a) 4 20 12 5 12 16 b) c) BE 13 F 25 J 11 L N 2M d) e) 4 13 1+ 3 3 23 5 KP 156 Учебна единица 8: Метрични отношения в правоъгълния триъгълник
Урок 3 Постоянни съотношения в правоъгълния триъгълник Проблемна ситуация Самолет се издига от земята под ъгъл 30 ° и се движи на 1000 м. На каква максимална височина достига самолетът? Ами ако самолетът от 1000 м излети под ъгъл 25 ° и измине същото разстояние от 1000 м? 30˚ Наблюдавайте самолета, който се движи на разстояние 1000 м от различни ъгли. 1000 m 100200˚m 103000˚m 1000 m 60˚ 80˚ Искаме да знаем! Как можем да използваме ъгли за определяне на дължини? Кратко проучване Какво се случва, ако разстоянието за изстрелване на самолета е 2 пъти по-дълго? Ами ако е 3 пъти по-дълъг? Но 4 пъти по-кратък? B a3 a2 C2 C3 Образувайте a210C˚ 1b1 подобни триъгълници! b2 b3 A1 A2 A3 ∆BA1C1
∆BA3C3 Резултат: b1 = a1, където b1 = b2 b2 a2 a1 a2 b = 1 b = 2 b3 b1 = a1, където b1 = b3 a1 a2 a3 b3 a3 a1 a3 N2 Ако се има предвид друг ъгъл, O 35 ˚ M2 получаваме друга серия от равни съотношения M1, различни от първата! Това означава, че има връзка между мярката на ъгъла и стойността на съотношението между крака и хипотенузата на триъгълника ...... и стойността на това съотношение не е A2A4A5 C зависи от правоъгълния триъгълник A6, в който се намираме, точно както мярката на ъгъла не зависи от формата b ъгълът е част. Разбира се! Ето още по-убедителна цифра: B A3A1 A Правоъгълните триъгълници на фигурата са два по два (според случая (UU). Резултат = t b A = 1A2 A3 A4 = A6C a BA1 BA 4 A5C Напишете двойките подобни триъгълници, за да проверите поредица от равни доклади Критично и конструктивно мислене 158 Учебна единица 8: Метрични отношения в правоъгълния триъгълник