Магията на функциите и интегралите
Здравейте, скъпи студенти от университета Аргемона!
Не мога да не ви запозная с прекрасните извивки, които според мен определено ще са необходими на магьосниците: външният им вид е твърде красив, магьосниците не могат да минат покрай такива неща.
Трябва веднага да кажа, че в декартовите координати появата на тези криви, меко казано, е шокираща. Измислен е обаче начин, по който тези уравнения могат да бъдат сведени до по-прости уравнения, които могат да се използват за изчисляване на площите на трапецовидните и центровете на масата. то параметрични криви.
В урока ще разгледаме само такива криви, като приемем параметричната им форма, както е дадена. В същото време ще използвам примери, за да обясня какво е дефиниция на параметрична крива.
И първата крива, с която ще се срещнем е АСТРОИДА
Това е крива, която се описва с точка от кръг с радиус r, търкалящ се по вътрешната страна на кръг с радиус R = 4r. Записът му в правоъгълни (декартови) координати xy е следният:
Съгласете се, че можете да изразите нещо от тук, но изразът ще се окаже, меко казано, твърде тежък за по-нататъшна употреба в заклинанията "Интеграл".
Значението на съставянето на параметричното уравнение на кривата е следното: въвежда се параметърът t и се намират зависимостите на променливите x и y от този параметър. Замествайки тези зависимости в уравнението на кривата в декартови координати, получаваме правилната идентичност.
За astroid зависимостите са както следва:
x (t) = r * cos 3 t
y (t) = r * sin 3 t
Можете да включите тези зависимости в уравнението на кривата и да проверите идентичността.
Променете параметъра t, намерете двойките (x, y) и ги маркирайте в декартовата координатна система.
Например за r = 2
t = 0; x = 2; y = 0
t = π/4; x = 2 * (√ (2)/2) 3 = √ (2)/2; y = √ (2)/2
t = π/2; x = 0; y = 2
t = 3π/4; x = 2 * (- √ (2)/2) 3 = -√ (2)/2; y = √ (2)/2
t = π; х = -2; y = 0
Сега нека се опитаме да изчислим площта на тази фигура като цяло. Формулата за правопис в този случай изглежда така (за изчисляване на извит трапец, ограничен отгоре с крива, отдолу с оста OX, отстрани с прави линии x = a (получени при t = t1) и x = b (получено при t = t2)):