Лапласовата трансформация е

Лапласова трансформация - интегрална трансформация, свързваща функцията на комплексна променлива (снимка) с реална променлива функция (оригинален). Използва се за изследване на свойствата на динамичните системи и за решаване на диференциални и интегрални уравнения.

Една от характеристиките на трансформацията на Лаплас, която предопределя широкото й използване в научни и инженерни изчисления, е, че много съотношения и операции върху оригинали съответстват на по-прости съотношения върху техните изображения. По този начин, свиването на две функции се намалява в пространството на изображението до операцията на умножение и линейните диференциални уравнения стават алгебрични.

Съдържание

Определение

Директно преобразуване на Лаплас

Трансформацията на Лаплас на функция от реална променлива е функция на комплексна променлива, така че:

Извиква се дясната страна на този израз интегралът на Лаплас.

Обратна трансформация на Лаплас

Обратното преобразуване на Лаплас на функция от комплексна променлива е функция на реална променлива, такава че:

където е някакво реално число (виж условията на съществуване). Дясната страна на този израз се нарича интеграл на Бромвич.

Двустранно преобразуване на Лаплас

Двустранното преобразуване на Лаплас е обобщение на случая на проблеми, в които стойностите х

Дискретно преобразуване на Лаплас

Използва се в областта на компютърните системи за управление. Дискретно преобразуване на Лаплас може да се приложи към решетъчни функции.
Разграничаване на -трансформация и -трансформация.

  • -трансформация

Позволявам е решетъчна функция, тоест стойностите на тази функция се определят само в отделни моменти във времето, където е цяло число и е периодът на вземане на проби.
След това прилагайки трансформацията на Лаплас получаваме:

  • -трансформация

Ако приложим следната промяна на променливите:
,
получаваме Z-трансформация:

Свойства и теореми

  • Абсолютна конвергенция

Ако интегралът на Лаплас се сближава абсолютно за σ = σ0, т.е. има ограничение

,

тогава тя се сближава абсолютно и еднакво за и F(с) Е аналитична функция за (е реалната част на сложна променлива с ). Точният инфимум σа извиква се множеството числа σ, за които е изпълнено това условие абсциса на абсолютна конвергенция Трансформация на Лаплас за функцията е(х) .