Krivosheev_Book_DSA - Страница 11
Сумирането в (4.20) се извършва от 1 до М, тъй като
собствени вектори v 1,. v M, наречен основни собствени вектори, разтяга същата област на подпространството на сигнала, както на сигналните вектори s 1,. s M. Това означава,
че всеки основен собствен вектор трябва да бъде представен като някаква линейна комбинация от сигнални вектори
v i = å β ik s k,
Представянето на единичната матрица по отношение на собствените вектори на автокорелационната матрица, като се вземе предвид тяхната ортонормалност, може да се запише като следната връзка:
I = å v i v i H. (4.21) i = 1
Замествайки (4.20) и (4.21) в израз (4.17), получаваме разширяването на матрицата за автокорелация по отношение на собствени стойности:
v 1, K, v M и подпространството на шума - във вектори v M +1, K, vp +1, а собствените стойности, съответстващи на векторите на шума, са еднакви и равни на дисперсията на белия шум ρ w, а собствените стойности, съответстващи на основните собствени вектори, са съставени както от силата на сигнала, така и от мощността на шума .
Разширяването (4.22) на автокорелационната матрица може да се използва по два начина за получаване на спектрални оценки или, по-точно, подобрени оценки на честотата. Първо, запазването само на една информация, съответстваща на собствените вектори на сигналното подпространство, т.е. Тоест, с други думи, формирането на приближение на намален ранг за матриците R p ефективно допринася за увеличаване на съотношението сигнал/шум, тъй като елиминира приноса на мощността на компонентите на шумовото подпространство. Този факт е в основата на процедурите за оценка на честотата в подпространството на сигнала. От друга страна,
тъй като собствените вектори са ортогонални и основните собствени вектори са обхванати от същото подпространство като векторите на сигнала, следователно, векторите на сигнала са ортогонални на всички вектори в подпространството на шума, включително всяка линейна комбинация от тях. Това свойство е в основата на процедурите за оценка на честотата в подпространството на шума .