Критерий за съществуването на определен интеграл
В най-простите случаи е лесно да се провери съществуването на определен интеграл.
Например за [math] f (x) = m [/ math]:
[математика] \ сигма (f, \ tau) = \ сума \ граници_ ^ m \ Delta x_k = m (b - a) [/ math]
Следователно, [math] \ int \ limit_a ^ b m dx = m (b - a) [/ math]
Помислете за функцията на Дирихле: [math] d (x) = \ left \ < \begin1,\ & x \notin \mathbb \\ 0,\ & x \in \mathbb \\ \end \right. [/math]
Тогава могат да бъдат съставени две различни точкови системи:
В единия случай получаваме, че [math] \ int \ limit_0 ^ 1 d (x) dx = 0 [/ math], а в другия - [math] \ int \ limit_0 ^ 1 d (x) dx = 1 [/математика] .
Но това по дефиниция не трябва да зависи от избрания набор от точки. Следователно функцията на Дирихле не е интегрируема.
Възниква напълно логичен въпрос:>. Нека напишем отговора на класическия език (Darboux).
Поради факта, че ограничеността на функцията е необходима за интегрируемост, това не е допълнително уточнено.
Нека ограничената функция [математика] f \ двоеточие [a; b] \ до \ mathbb [/ math] и задайте точка [math] \ tau: a = x_0 \ lt x_1 \ lt \ ldots \ lt x_n = b [/ math]
[math] m_k (f) = m_k = \ inf \ limit _]> f (x) [/ math]
[математика] M_k (f) = M_k = \ sup \ граници _]> f (x) [/ math]
[math] \ underline (f, \ tau) = \ underline (\ tau) = \ sum \ limit_ ^ m_k \ Delta x_k [/ math] - долна сума на Дарбу
[math] \ overline (f, \ tau) = \ overline (\ tau) = \ sum \ limit_ ^ M_k \ Delta x_k [/ math] - горна сума на Дарбу
Тогава, очевидно, [math] \ underline (\ tau) \ leq \ sigma (\ tau) \ leq \ overline (\ tau) [/ math] .
Първото свойство е очевидно (от дефиницията на сумите от Дарбу).
Нека докажем второто свойство. Ясно е, че е достатъчно да се разгледа случаят, когато само една точка е добавена към [math] \ tau_1 [/ math].
[math] a = x_0 \ lt x_1 \ lt \ ldots \ lt x_n = b [/ math] - [math] \ tau_1 [/ math]
[math] a = x_0 \ lt x'_0 \ lt x_1 \ lt \ ldots x_n = b [/ math] - [math] \ tau_2 [/ math]
Нека докажем неравенството за по-ниските суми. Нека обозначим [math] m_0 [/ math], [math] m'_0 [/ math] и [math] m '' _ 0 [/ math]
[math] m_0 = \ inf \ limit_ f (x) [/ math], [math] m'_0 = \ inf \ limit_ f (x) [/ math], [math] m '' _ 0 = \ inf \ граници_ f (x) [/ math] .
Тогава, очевидно, [math] m_0 \ leq m'_0, m "_ 0 [/ math]
[math] m_0 (x_1 - x_0) = m_0 (x'_0 - x_0) + m_0 (x_1 - x'_0) \ leq m'_0 (x'_0 - x_0) + m "_ 0 (x_1 - x" _0) [/ математика]
Освен това всички условия ще бъдат еднакви. Следователно неравенството е валидно.
Трето свойство
Поставете [math] \ tau_3 = \ tau_1 \ cup \ tau_2 [/ math]. Тогава [math] \ tau_3 \ leq \ tau_1, \ tau_2 [/ math] .
Следователно, по силата на точки 1 и 2, получаваме:
[math] \ underline (\ tau_1) \ leq \ underline (\ tau_3) \ leq \ overline (\ tau_3) \ leq \ overline (\ tau_2) [/ math]
Нека [math] \ omega (f, \ tau) = \ overline (\ tau) - \ underline (\ tau) = \ sum \ limit_ ^ (M_k - m_k) \ Delta x_k \ geq 0 [/ math]
[математика] \ lim \ граници_ \ tau \ до 0> \ omega (f, \ tau) = 0 \ Leftrightarrow [/ math] [math] \ forall \ varepsilon \ gt 0 \ \ съществува \ delta \ gt 0: \ \ име на оператора \ tau \ lt \ delta \ Rightarrow \ omega (f, \ tau) \ lt \ varepsilon [/ math]
Определете [математика] \ подчертаване = \ sup \ limite_> \ подчертаване (\ tau) [/ math], [math] \ overline = \ inf \ limit_> \ overline (\ tau) [/ math]
[математика] I = \ lim \ limite_ \ tau \ до 0> \ sigma (\ tau) [/ math]
1. [math] f \ in \ mathcal (a; b) [/ math]
[математика] \ съществува I = \ lim \ сигма (\ tau) [/ math]
[math] \ forall \ varepsilon \ gt 0 \ \ съществува \ delta \ geq 0: \ \ operatorname \ tau \ lt \ delta \ Rightarrow I - \ varepsilon \ leq \ sigma (\ tau) \ leq I + \ varepsilon [/ математика]
Това важи за всяка система от междинни точки.
В интегралната сума [math] \ Delta x_k \ gt 0 [/ math]. Оттук следва, че ако променим междинните точки и преминем към тях [math] \ inf [/ math] и [math] \ sup [/ math], тогава [math] \ inf = \ underline [/ math], [math] \ sup = \ overline [/ math] .
Тъй като писменото неравенство е валидно за всяка система от точки, то по силата на дефиницията на лицата, можем да получим това