Какво отличава звуковите вълни от числата - Deus ex Machina
Математиката и музиката често се поставят в едно легло - въпреки че припокриването е ограничено. Работещ брак или просто слух?
Аз всъщност съм вълк в овчи кожи и не си вярвам съвсем, когато - както преди известно време - яхна бял военен кон за повече научно образование. След като се възползвах от възможността да сервирам много нарцистични хапки за инженери и математици в този салон, време е да взема отново под внимание читателите на хуманитарните науки.
Понякога се говори, че математиката и музиката са о! толкова тясно свързани. Признавам: не за мен. Разбира се, музиката е звукови вълни, звуковите вълни са физика и някак си също математика, но не виждам пряката връзка. Същото важи и за слуховете, че музикантите често са математици и обратно. В древността е имало Питагор, 600 години по-късно Птолемей, който и двамата са се занимавали с математика и теория на музиката по важен начин, но нищо не идва след това. Лайбниц, всички ние, универсалният гений, нямахме нищо общо с музиката. Гьоте от своя страна се занимава с музика, но не и с математика. Напоследък швейцарският математик Леонхард Ойлер направи някои до голяма степен непознати приноси към теорията на музиката, но аз не намерих повече (въпреки че винаги съм благодарен за допълнителна информация!). От Айнщайн знаем, че той е обичал музиката като цяло и по-специално цигулката си, но тази любов не го е насочила към големи научни открития от музикално значение.
Независимо от това трябва да има причина, поради която теорията на музиката е била включена в математическия квадривиум на седемте свободни изкуства през Средновековието - дори ако днес музиколозите биха предпочели да се отдадат на трите други науки.
И така, каква е причината за слуховете, че музиката и математиката са свързани? В анекдотите се съобщава, че златното съотношение (математическото съотношение на разстоянието „a: b“, както и „a + b: a“) е било използвано в инструментариума - никой не може да каже със сигурност дали Страдивариус е построил това съзнателно или е било съвпадение.
Може би най-очевидният пример всъщност е въпросът за настройката, съотношенията на струните и звуковите вълни - и именно тази тема е занимавала много от споменатите по-горе теоретици. Същността на настройката е, че наслояване от примерно 12 пети теоретично съответства на приблизително 7 октави - но не съвсем, т.е. в крайна сметка излиза същият тон, но с малко по-различна височина. Тази разлика е известна още като питагорейска запетая и е притеснителна за музикантите от Средновековието: с въвеждането на клавишни инструменти човек трябва да вземе решение. Височината и интервалите могат да бъдат изразени като съотношения на височината на стъпката - което вероятно ги прави интересни на първо място за математиците. Октава съответства на съотношението на деление 1: 2, една пета към съотношението 3: 2. Това означава, че ако натиснете цигулков низ в точката на дъската, където останалата вибрираща струна е два пъти по-дълга от тази, която е била прекъсната, тогава оригиналният тон на звука звучи точно с един [Редактиране: пети] по-висок. Тогава това би бил чистият интервал. Но ако сложите много чисти октави и перфектни пети една върху друга, финалните ноти за съжаление се разпадат.
Повечето инструменти могат да се регулират гъвкаво по височина и следователно всяка нота и всеки интервал са интонирани толкова чисто, колкото изисква съответният клавиш. С клавиатурните инструменти, от друга страна, трябва да се ангажирате с ключ. Дори ако Бах би могъл да пренастрои своя клавесин за 15 минути, това далеч надхвърля възможностите на съвременните тунери за пиано и кой би искал да си позволи това през цялото време?
Дори по времето на Бах инструментите бяха настроени по такъв начин, че несъответствието по някакъв начин да се разпредели през останалите интервали. До късния бароков период преобладаваше настройката на средния тон, при която третините (и интервалите пети и октави, които така или иначе се възприемаха като особено чисти) бяха настроени чисто - но само в първите клавиши от кръга на петите, т.е. от теоретично възможните 12 клавиша (и съответните им второстепенни партньори), само първите 8 звучаха чисто, с тенденция към намаляване.
Доста мръсно решение е еднаквата настройка, при която само октавите звучат чисто, докато всички останали интервали получават част от питагорейската запетая - т.е. звук нечист. Удивително е, че този вариант е преобладавал, вероятно и защото нетренираното ухо почти не го забелязва.
Много по-известен обаче е Добре темперираното настроение, на което Бах вероятно е посветил и великото си произведение „Добре темперираният клавир“. Андреас Веркмайстер (на когото са кръстени някои от безбройните вариации на този метод за настройка) беше един от първите, които не разпределяха систематично досадната запетая, а по-скоро според усещането. В зависимост от това колко са важни интервалът и ключът и колко чувствително или тъпо е човешкото ухо към примесите, интервалите са настроени чисти или нечисти. Поради честотата на използване и важността на интервалите в до мажор, клавишите бяха особено чисти, а ключовете с много случайности бяха доста нечисти - което доведе до ключовата характеристика, която и до днес е съществен компонент на музикознанието.
По-конкретно, това предполага, че на съвременното пиано прелюдията и фугата във фа-мажор от първия том също могат да бъдат изпълнени в до мажор - това няма разлика в звука. На пиано, настроено на същото ниво, обаче разликата ще бъде чута. Бах почти сигурно е написал тази творба, за да отпразнува новото постижение на добре темперирана настройка, която направи възможно възпроизвеждането на всички клавиши на клавиатурен инструмент - макар и в добре закаления вариант, а не в равномерния вариант, както го използваме днес. Като цяло Бах вероятно имаше много общо с числата: творбите му гъмжат от цифрова символика, но дори там може само да се гадае за каква част е предназначена. Когато хорът за десетте заповеди е включен в музика и тръбата тръгне десет пъти, обичам да приемам намерение. Ако, от друга страна, две числа съдържат общо 129 бара и това (3 × 43 = 129) се тълкува като препратка към тройно верую, бързо изчерпвам търпението - това е предположение без възможност за доказателства или аргументи. Да не говорим за окултната страна, с масонското мислене и висшето значение на квадрати и триъгълници.
Друга често цитирана област, в която музиката и математиката сключват брак - в някои очи нечестиви - е модерната музика. Дванадесет-тоновата музика или по-специално серийната музика са толкова строго структурирани, че човек се чувства напомнящ на математиката и част от красотата на такива произведения може да бъде разкрита само чрез интензивно разглеждане на нотите. Например в дванадесеттоновата музика се формират серии от тонове, на които е позволено да се различават само по ограничен начин и съгласно строги правила, което става изключително сложно в полифонична обстановка - до такава степен, че един професор веднъж каза, че компютърният алгоритъм може да състави дванадесет-тонова музика по-лесно от човешкия гений. Това е свързано с факта, че Булез например също е работил с таблици с числа, за да направи моделите ясни. Независимо от това - дори някои да не се съгласят с мен - това не е математика. Числата и математиката всъщност са две напълно различни неща. А дванадесет-тоновата или серийната музика все още е музика. Човек трябва да се стреми да го разбере, да разчупи навиците на ухото си и да се справи сериозно с него, но все пак това е изкуство - едно, което уникално се противопоставя на рационалността.
Изкуството е когато интервалите и звуковите вълни (т.е. математиката и акустиката) стават повече. 2 + 2 = 5, което докосва хората и ви кара да забравите всичко останало. Музика, просто.