Jadan (1) - Страница 4

Необходимост: Нека множествата X 1 и X 2 са правилно разделими, тоест за някои ненулеви вектори p R n и всички x 1 X 1, x 2 X 2 важи неравенството (32). Освен това съществуват xø 1 X 1 и xø 2 X 2, за които строгото неравенство (30).

Да предположим, че ri X 1 ∩ riX 2 =. Вземете точка x riX 1 ∩ riX 2, както и достатъчно малък ε> 0, и вземете предвид две точки

x 1 = x + ε (x - xø 1) X 1, x 2 = x + ε (x - xø 2) X 2 .

Имаме за тези x 1 и x 2:

p, x 1 = p, x + ε p, x - ε p, xø 1, p, x 2 = p, x + ε p, x - ε p, xø 2 .

Следователно, въз основа на (30), заключаваме, че p, x 1 β> p, a x X.

Следователно, тъй като 0 n X, величината β удовлетворява неравенството: β −1

Тъй като ÷, от лявото неравенство следва, че освен това поради факта,

че y X и a X, според дефиницията на втория конюгиран набор, неравенството е вярно: y, a ≥ −1. Това неравенство противоречи на правилното неравенство (35).

По този начин, ÷. Сравнявайки това включване с това, получено по-рано, заключаваме,

което е равенството (34).

Теорема 17. Нека X R n е изпъкнал затворен набор, съдържащ. Тогава X = X.

Доказателства. Твърдението следва от лема 5, тъй като

X = cl (conv (X)) = cl (convX) = clX = X.

единична топка по отношение на п-тата норма на Хьолдер. Вземайки топката B 1, получаваме, че B 1 = B ∞. От друга страна, B ∞ = B 1. Горната връзка между единичните топчета се запазва и за междинна 1 0. Тогава y, λx ≥ −1 или y, x ≥ −1/λ. Следователно преминавайки към границата при

получаваме: y, x ≥ 0. Тъй като x е произволна точка от K,

и y е произволна точка от

K, тогава това неравенство означава, че K K ÷ .Така, за спрегнатия конус

K представянето (36).

Множество K от формата (36) очевидно е затворен изпъкнал конус; той се нарича конюгиран конус към конуса K. Често самата формула (36) служи като дефиниция на конюгирания конус.

Ако конусът K е неотрицателен ортант на пространството R n, тогава, както е лесно да се провери, K = K = R n +, т.е.неотрицателният ортант на пространството R n + е самосъседен-

Вземане на втория конюгиран конус

директно от твърдението на теорема 17 стигаме до следния резултат:

Теорема 18. Нека K е изпъкнал затворен конус. Тогава K = K.

Сега продължаваме да изясняваме формата на конюгираното множество за линейните подпространства.

Изявление 9. Нека L е линейно подпространство в R n. Тогава

където L е ортогоналното допълнение към L.

Доказателства. Линейното подпространство е конус; следователно, представяне (36) е валидно за неговия конюгиран набор, но линейното подпространство L е такова, че заедно с точката x L, то винаги съдържа противоположната точка −x. Следователно неравенството в (36) може да бъде изпълнено само като равенство.

---