Изчислете граничната стойност (Limes) - Пчелни пчели

Получете неограничен достъп до нашите учебни материали за вашите проучвания по Wiwi.

Нашата цел е да ви подготвим оптимално за вашите изпити. Открийте StudybeesPlus сега:

Всички основни предмети за вашата бизнес степен
Неограничен достъп за изучаване на скриптове, писмени изпити, онлайн курсове
Курсове на място за Специална цена

Получете неограничен достъп до нашите учебни материали за вашите проучвания по Wiwi.

Нашата цел е да ви подготвим оптимално за вашите изпити. Открийте StudybeesPlus сега:

A граница показва как се държат функциите при приближаване до определена стойност `x`. Това граница също се нарича лайм.

Разследването на липи е интересно за функции с скокове или пропуски в дефиницията. Използва се и за изследване на поведението на функция в безкрайност.

Изчисляването на пределна стойност формално се изразява, както следва:

`\ lim_ (x rightarrow a) f (x) = A`,

говори: " липи за `x` срещу` a` от `f (x)` е равно на `A`."

Гранична стойност при скокове на функции и пропуски в дефиницията

Функционални скокове и Пропуски в дефиницията може да се приближи отляво или отдясно, при което Гранични стойности всеки е различен. Функционален скок се случва, когато има функционално разграничение във функционалното правило. Това се обозначава от зададена нотация, която може да изглежда така, например: \ beginf (x) = \ left (\ begin \ dots \ for \ x \ leq \ \ dots \\\ dots \ for \ x> \ \ dots \\ \ end \ вдясно) \ end Следващата илюстрация показва обозначението на лайм в Функционални скокове изяснено:

В точката "a" стойността на функцията е "A" (това се посочва от попълнения период). Ако обаче се приближите до тази функция скок отляво, граничната стойност е `B`.

Така че, ако искате да изчислите граничната стойност на функцията при скока на функцията отляво, пишете:

`\ lim_ (xдясно a ^ -) f (x) = B`

Ако се приближите към скока на функцията отдясно, ще използвате следната нотация:

`\ lim_ (xдясно a ^ +) f (x) = A`

Пропуските в дефиницията също могат да се подхождат отляво и отдясно. Правописът остава същият и по принцип продължавате по същия начин, както при скокове на функции:

Приближение отляво: `\ lim_ (x rightarrow a ^ -) f (x)`

Приближение отдясно: `\ lim_ (x rightarrow a ^ +) f (x)`

Трябва ли Гранични стойности в Функционални скокове или Пропуски в дефиницията препоръчително е да се вмъкне минимално по-малка и минимално по-голяма стойност във функционалното уравнение, за да се определи съответната гранична стойност. Дали напр. около мястото `a = 5`, би могло за граница идващи отляво `4,999999999` и за граница Ако идвате отдясно, вмъкнете `5.000000001`. По-точен метод за изчисляване на това Гранични стойности ще работи чрез съответна последователност, сближаваща се до нула, напр. последователността `\ frac (1) (n)`. Тогава това ще бъде вмъкнато във функцията заедно с `a` и ще бъде пуснато към нула (тук чрез пускане` n rightarrowinfty`):

`\ lim_ (x rightarrow a ^ -) f (x) = \ lim_ (n rightarrowinfty) f (a- \ frac (1) (n))` или.
`\ lim_ (x rightarrow a ^ +) f (x) = \ lim_ (n rightarrowinfty) f (a + \ frac (1) (n))`

Ето как в крайна сметка получавате този, когото търсите граница функцията в точката `a` идваща отляво или отдясно.

Ограничение по безкрайност

Поведението в безкрайността е свързано с развитието на графиката от левия и десния ръб. Значението на функцията на "f (x) = x ^ 3" за "x rightarrow + infty" отива в "+ infty", а за "x rightarrow -infty" до "-infty". Графиката може също да се сближи с число в безкрайност. Например графиката се изпълнява от `f (x) = \ frac (1) (x)` за `x rightarrow + infty` срещу` 0` (идващо отгоре) и за` x rightarrow -infty` срещу` 0` ( идващи отдолу).

За да направите границата на безкрайност ясна, е полезно да използвате графика като ориентир. Например, следната графика се стреми към "x rightarrow - \ infty" към "B", а за "x \ rightarrow \ infty" се приближава до "A":

Нотацията за разглежданите гранични стойности е подобна на нотация за скокове на функции и пропуски в дефиницията. The граница на графиката при положителна безкрайност се представя, както следва:

Ако някой изследва графиката в отрицателно безкрайно, пише:

Процедурата за изчисляване Гранични стойности за `x \ rightarrow \ pm \ infty` има различни правила в зависимост от вида на функцията. По-нататък се прави разлика между функции, които се състоят само от полиноми, Многочлени и смесете термини с `e ^ (g (x))` и функции, които са дробно рационални.

Граници на функции, които се състоят само от полиноми

По-долу се обяснява как се изчислява граничната стойност на функция, когато функцията се състои само от полиноми. Полиномът е функция, при която се добавят или изваждат само членове от формата `a_ix ^ i`, като например следната функция:

Ако функцията съдържа само полиноми, първото нещо, което трябва да направите, е да определите `x` с най-високата степен. Ако оставите `x` да върви срещу` + \ infty` или` - \ infty`, тогава другите компоненти на функцията никога не могат да станат толкова големи, колкото този термин. Следователно е достатъчно да разгледате само термина, в който с най-високата степен. Вместо напр.

`\ lim_ (x rightarrow + infty) f (x) = \ lim_ (x rightarrow + infty) 4x ^ 3-2x ^ 2 + x + 7`

така че човек само гледа

Функцията `f (x) = 4x ^ 3-2x ^ 2 + x + 7` работи в положителния безкраен диапазон в положителна безкрайност.
Точно така може да се разглежда функцията в отрицателната зона:

`\ lim_ (x rightarrow-infty) f (x) = \ lim_ (x rightarrow-infty) 4x ^ 3-2x ^ 2 + x + 7 = \ lim_ (x rightarrow-infty) 4x ^ 3 = -infty`

В отрицателната безкрайност функцията преминава в отрицателна безкрайност.

Граници на функции, които смесват полиноми и `e ^ (g (x))`

Ако функцията освен полиноми има и функция `e`, което се добавя или изважда (напр. `f (x) = 3x ^ 2-x ^ 3 + e ^ (x-3))`, най-добре е функцията да се раздели на две части: Многочлени образуват първата част, функцията `e` образува втората част. Сега можете да разгледате и двете части поотделно и след това да съберете резултатите. Тъй като функция `e` се развива по-бързо от всеки полином, това е по-важно. Това е илюстрирано по-долу. Например, ако вземете предвид ограничението на гореспоменатата функция спрямо \ \ infty:

`\ lim_ (x rightarrow + infty) f (x) = 3x ^ 2-x ^ 3 + e ^ (x-3)`

Първата част на функцията (`3x ^ 2-x ^ 3`) е полином, където` -x ^ 3` е терминът с най-голяма степен. Затова сравняваме развитието на `-x ^ 3` с това на` e ^ (x-3) `. Ако замените по-малко число като „2“ за „x“, терминът „-x ^ 3“ има по-голяма тежест от „e ^ (x-3)`, тъй като „(-2) ^ 3 = -8` и `e ^ (2-3) \ приблизително 0,37`. Тъй като обаче търсим ограничението за "x \ rightarrow \ infty", трябва да разгледаме по-големите "x" стойности. Например, за `x = 20`,` -x ^ 3` ще бъде `(-20) ^ 3 = -8000` и` e ^ (x-3) `ще бъде` e ^ (20-3) = 24,154,952, 75`. Ако сега напр. Като се има предвид "x = 200", терминът "-x ^ 3" е "-8 000 000", докато терминът "e ^ (x-3)" очевидно преобладава, тъй като "e ^ (200-3) \ приблизително 3,6 * 10 ^ 85`. Тъй като функцията `e` се развива в положителна безкрайност много по-бързо от полинома в отрицателна безкрайност, в този случай тя определя цялата граница на функцията:

`\ lim_ (x rightarrow + infty) f (x) = 3x ^ 2-x ^ 3 + e ^ (x-3) = + \ infty`

Най-общо може да се каже следното: Ако има функция, в която присъстват както полиноми, така и членове от формата `e ^ (g (x))` и са свързани с `+` или `--`, граничната стойност се определя, както следва:

Ако полиномите и функцията `e` свързани с продукт (напр. `f (x) = (x ^ 4-x ^ 3) \ cdot (-e ^ (2x))`, процедурата се променя. Тогава изрично разделяне вече не е възможно. граница функцията `e` и полиномът отделно един от друг и след това ги умножава. Граничната стойност на функция, при която се умножават многочлените и член от формата `e ^ (g (x))`, може да бъде определена чрез следната таблица:

Тази процедура също трябва да бъде илюстрирана на пример. Граничната стойност трябва да бъде определена спрямо "+ \ infty" на следната функция:

Функцията се състои от полином (`x ^ 4-x ^ 3)` и термин от `e ^ (g (x))`, а именно `e ^ (2x)`. Тези две части се умножават заедно. Така че ние знаем как да определим граничната стойност поотделно и след това да определим граничната стойност на функцията, използвайки горната таблица.

Първа част: `x ^ 4-x ^ 3 rightarrow` за лайм само най-високият експонентен показател:

`\ lim_ (x rightarrow + infty) (x ^ 4-x ^ 3) = \ lim_ (x rightarrow + infty) x ^ 4 = infty ^ 4 = + infty`.

Втора част: `-e ^ (2x)`

Тъй като резултатите `- \ cdot + = -`, когато сглобите двете части, цялата функция за` x rightarrowinfty` изтича в отрицателна безкрайност:

`\ lim_ (x rightarrow + infty) f (x) = \ lim_ (x rightarrow + infty) (x ^ 4-x ^ 3) \ cdot (-e ^ (2x)) = - infty`

Граници на дробни рационални функции

С описаната по-горе процедура можете Гранични стойности като цяло добре изчислени. Въпреки това става по-сложно, когато функцията присъства като дроб. В случая на фракции е полезно отделните сбирки във фракцията да се разделят на „x“ с най-високия показател (това съответства на удължаване на фракцията от обърнатата част на „x“ с най-високия показател). След това те могат да бъдат разглеждани и сглобявани индивидуално. Това трябва да бъде илюстрирано на примера на следната функция:

`\ lim_ (x rightarrow + infty) f (x) = \ lim_ (x rightarrow + infty) \ frac (x ^ 3 + x) (x ^ 4-5) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ | * frac (1) (x ^ 4) `

Ако срещнете неопределените изрази `\ frac (0) (0)` или `\ frac (\ pminfty) (\ pminfty)` при изчисляване на граничната стойност на дробни рационални функции, трябва да погледнете Правилото на L’Hospital където числителят и знаменателят на фракцията се извеждат отделно един от друг. Тогава този нов израз се превръща в граница образован. Можете да прочетете как точно работи това в главата Правило на L'Hospital.

Studybees Plus - Учебната платформа за вашето обучение. Адаптиран към вашата лекция.

Компактен Изучаване на скриптове, адаптирани към вашата лекция
Онлайн курсове за сривове от най-добрите преподаватели
Интерактивни задачи за вашия оптимален успех в обучението

Получете неограничен достъп до нашите учебни материали за вашите проучвания по Wiwi.

Нашата цел е да ви подготвим оптимално за вашите изпити. Открийте StudybeesPlus сега: