Ин Геометрия

§ 109. СВОЙСТВА НА РЕДОВНИТЕ ПОЛИГОНИ.

Теорема 1. Кръг може да бъде описан около всеки правилен многоъгълник.

Нека ABCDEF (фиг. 419) е правилен многоъгълник; необходимо е да се докаже, че около него може да се опише кръг.

Знаем, че винаги можете да нарисувате кръг през три точки, които не лежат на една права линия; следователно винаги можете да нарисувате кръг, който минава през произволни три върха на правилен многоъгълник, например през върховете E, D и C. Нека точката O е центърът на този кръг.

правилен многоъгълник

Нека докажем, че този кръг ще премине и през четвъртия връх на многоъгълника, например през върха B.

Сегментите OE, OD и OS са равни помежду си и всеки е равен на радиуса на окръжността. Нека нарисуваме друг сегмент OB; за този сегмент не може веднага да се каже, че той също е равен на радиуса на окръжността, това трябва да се докаже. Помислете за триъгълници OED и ODC, следователно те са равнобедрени и равни, / 1 = / 2 = / 3 = / 4.

Ако вътрешният ъгъл на този многоъгълник е α, тогава / 1 = / 2 = / 3 = / 4 = α/2; но ако / 4 = α/2, тогава / 5 = α/2, т.е. / 4 = / пет.

Следователно заключаваме, че / \ OSD = / \ OSV и следователно OB = OS, тоест OB сегментът е равен на радиуса на изтегления кръг. От това следва, че окръжността също ще премине през върха В на правилния многоъгълник.