Хармонично трептене - Abitur физика
Експеримент: пружинно махало
Тегло (оранжева кутия) виси на пружина. Ако се издърпа надолу и след това се освободи, той започва да се люлее нагоре и надолу.
Наляво: Вибрация с триене
Вибрацията губи енергия чрез триене, така че тежестта се колебае все по-близо до позицията за почивка и накрая спира да вибрира.
Нали: Вибрация без триене
Тежестта се люлее равномерно около позицията за почивка.
Първо ще се справим с вибрациите без триене. За повече информация относно вибрациите с триене, вижте Приглушени вибрации.
Общо определение на вибрациите
Трептенето описва хода на промяна на състоянието, когато системата е изведена от стабилно равновесие поради нарушение и е принудена обратно към първоначалното си състояние от възстановяваща сила. [. ]
Приложение към пружинното махало
Наляво: Стабилно равновесие
Силата на опън на пружината (нагоре) и ускорението поради гравитацията (надолу) се уравновесяват. Кутията не се движи.
Нали: Разстройство и отблъскваща сила
Ако тежестта се изведе от равновесие поради нарушение (напр. Дърпане с ръка), има дисбаланс на силите между силата на опън на пружината и ускорението на гравитацията.
Получената обща сила, действаща върху тежестта, се нарича отблъскваща сила споменато, защото „се опитва“ да „откара“ тежестта обратно в изходна позиция.
Общо определение на вибрациите (продължение)
[. ] По принцип, трептенето на системата се основава на периодичното преобразуване на енергия между две форми на енергия. Системата преминава през първоначалното състояние многократно след фиксиран интервал от време.
Приложение към пружинното махало
За да обясните по-точно трептенето на пружинното махало, помислете за скорост необходимото тегло.
Забелязва се следното:
При максимално отклонение
Скоростта на тежестта е минимална (\ (0 m/s \)). Възстановяващата сила е максимална.
При преминаване на позицията за почивка
Възстановяващата сила е минимална (\ (0 N \), тъй като силата на пружината и силата на тежестта се балансират взаимно). Скоростта е максимална.
Тежестта се движи през неговата сама инерция продължи.
Заключение
Има преобразуване на енергия между потенциалната енергия на пружината и кинетичната енергия на тежестта.
Възстановяващата сила
Силата, която възниква при деформиране на пружина, е известна още от средното училище. То е:
$$ F = - D \ cdot s $$
Позиция за почивка
\ (F_ = F_G + F_ = F_G - D \ cdot s_1 = 0 \)
Разстройство
\ (F_ = F_G + F_ = \ underset> - D \ cdot s_2 = - D \ cdot s_2 \)
Вибрационно диференциално уравнение
С помощта на формулите \ (F = m \ cdot a \) и \ (a = \ ddot \) (ускорението е второто производно на пътя) се получава следното диференциално уравнение:
\ begin F_ & = - D \ cdot s \\ m \ cdot a & = - D \ cdot s \\ m \ cdot \ ddot & = - D \ cdot s \ end Как това уравнение може да бъде решено не е показано тук описани по-подробно.
Уравнение на вибрациите
Чрез решаване на диференциалното уравнение се получава уравнението на трептенията: $$ s (t) = s_0 \ cdot \ sin (2 \ pi f t + \ phi_0) $$
- амплитуда
Амплитудата \ (s_0 \) описва максималното отклонение на трептенето. - Продължителност на периода (период на трептене)
Периодът е времето, което изтича, докато една трептяща система преминава през точно един период на трептене, т.е. след което отново е в същото състояние на вибрация. Реципрочната стойност на периода \ (T \) е честотата \ (f \), така че: \ (f = \ frac \). - честота
Честотата \ (f \) показва броя на пълните трептения за единица време и се измерва според германския физик Хайнрих Херц в Херц (\ (Hz = \ dfrac \)). - Фазов ъгъл
Фазовият ъгъл \ (\ phi_0 \) показва при коя фаза започва трептенето. Фазовият ъгъл от \ (\ phi_0 = 2 \ cdot \ pi \) съответства на изместване с един период.
С фазов ъгъл от \ (\ phi_0 = \ frac \ cdot 2 \ cdot \ pi = \ frac \ cdot \ pi \) трептенето ще се измести с четвърт от периода. (Т.е. пролетното махало ще започне отгоре)
пример 1:
\ (s_0 = 2 m \), \ (f = \ frac Hz \) и \ (\ phi_0 = 0 \)
Периодът е $$ T = \ dfrac = \ dfrac Hz> = 10 s $$
Ъглова честота
Трептенето може да се разбира и като проекция на кръгово движение.
Ъгловата скорост \ (\ omega \) на такова движение вече е известна от междинното ниво: $$ \ omega = 2 \ pi f $$ Тя съответства на ъгъла в секунда, изметен от синия показалец.
В анимацията отляво теглото се колебае с честота \ (f = 0,25 Hz \), ъгловата скорост следователно е: $$ \ omega = 2 \ pi f = 2 \ pi \ cdot 0,25 Hz = \ dfrac \ pi Hz $ $ За вибрации обаче \ (\ omega \) се използва като Ъглова честота определен.
Сега уравнението на трептенията е: $$ s (t) = s_0 \ cdot \ sin (\ omega t + \ phi_0) $$
Пример 2:
\ (s_0 = 5 m \), \ (\ omega = \ frac \ pi Hz \) и \ (\ phi_0 = \ frac \ cdot 2 \ cdot \ pi = \ frac \ cdot \ pi \)
Честотата е $$ f = \ dfrac = \ dfrac \ pi Hz> = \ dfrac Hz $$ Продължителността на периода е $$ T = \ dfrac = \ dfrac Hz> = 4 s $$
Скорост и ускорение
Функцията за скорост се измества наляво с \ (\ frac \ pi \) в сравнение с функцията на трептене.
Функцията за ускорение се измества наляво с \ (1 \ pi \) в сравнение с функцията на трептене.