Директно дискретно преобразуване на Лаплас
Предмет: Теория на автоматичното управление
Тема: ДИРЕКТНА ДИСКРЕТНА ТРАНСФОРМА НА ЛАПЛАЦИЯ
Динамичните процеси в дискретни системи за управление са описани чрез уравнения в крайни разлики. Удобен метод за решаване на разностни уравнения е оперативният метод, базиран на дискретното преобразуване на Лаплас. Дискретното преобразуване на Лаплас е обобщение на обичайното преобразуване на Лаплас към дискретни функции.
Една от най-важните характеристики на трансформацията на Лаплас е, че много връзки и операции върху оригинали съответстват на по-прости връзки върху техните изображения.
1. Директно дискретно преобразуване на Лаплас
Трансформацията на Лаплас за непрекъснати оригинали е:
Нека получим формули за дискретното преобразуване на Лаплас. За изхода на импулсния елемент можете да напишете съотношението
Замествайки този израз във формулата на Лапласово преобразуване, получаваме
В същото време беше получена една от формулите за дискретно преобразуване на Лаплас, която има вид:
В сравнение с обичайното преобразуване на Лаплас за непрекъснати оригинали, интегралът се заменя със сумата и непрекъснатата променлива -т да дискретни - nT .
Пример 1. Определете дискретното преобразуване на Лаплас за единичната функция х ( t) = 1 ( т).
Решение: Прилагайки дискретна формула на Лапласово преобразуване, получаваме
Ако изображенията на непрекъснати сигнали са уравнения на мощността - f (p n), тогава образите на дискретни функции са експоненциални уравнения - f (e pnT), следователно апаратът на теорията на непрекъснатите системи не може да бъде приложен към тях. Чрез извършване на замяната z = e pT във формула (4) получаваме
Получихме втората формула за дискретното преобразуване на Лаплас, която се нарича z -трансформация. Използвайки z - трансформации, получаваме уравнения на мощността, което ни позволява да прилагаме методи за изучаване на непрекъснати системи за дискретни системи, като се вземат предвид някои характеристики.
Пример 2. Определете дискретно изображение F (z), ако е оригинален f (t) има формата (фиг. 1):
Решение: Функция F (z) може да се представи като поредица