Диференциално уравнение на Клеро

Решаване на диференциалното уравнение на Клеро

Помислете за уравнението на Clairaut:
(един)
Не е трудно да се уверим, че неговото общо решение е:
(2)

Всъщност, тъй като тя е постоянна, тогава тя също е постоянна. Тогава разграничавайки (2) имаме:
;
(3) .
Замествайки (2) и (3) в (1), получаваме идентичността:
.

Единичен интеграл от диференциалното уравнение на Клеро

Уравнението на Клеро може да има специален интеграл. Както знаете, ако общото решение на диференциалното уравнение има вида:
,
тогава може да се получи специално решение чрез изключение от уравненията:
;
.

В нашия случай решение (2) може да се запише като:
.
Тогава
.
Тогава може да се получи специално решение, като се изключат от уравненията:
;
.

Тъй като са възможни странични решения, след намирането на сингуларен интеграл е необходимо да се провери дали той отговаря на първоначалното уравнение (1).

Това е уравнението на Клеро. Основното му решение е:

Търсим специален интеграл. Нека пренапишем общото решение като:

---