Деривативна апроксимация
За да приближите първата производна, можете да използвате формулите:
- дериват с дясна разлика,
- лява разлика производна,
- дериват на централната разлика.
Има много начини за приближаване на производно, които следват от дефиницията на производно:
.
Въз основа на формулите за апроксимация на разликата на първото производно е възможно да се изгради апроксимация на разликата на второто производно:
(6.3)
По същия начин може да се получат приближения за производни от по-висок ред.
Определение. Грешката при апроксимацията на това производно е разликата .
За да се определи редът на сближаване, се използва разширението на серията Тейлър.
Помислете за приближението на дясната разлика на първата производна:
Тези. дясната диференциална производна има първо да ред на сближаване. Подобни оценки могат да бъдат направени за лявата диференциална производна.
Централната разлика дериват има приближение от втори ред.
Апроксимацията на второто производно по формула (6.3) също има втори ред на приближение.
За да се сближи диференциално уравнение, е необходимо да се заменят всички производни с техните приближения. Помислете за проблем (6.1), (6.2) и заменете производни в (6.1):