Числа на Фибоначи - Формула на Бине - Идентичности - Свойства - Вариации и обобщения

Числа на Фибоначи

Числа Фибоначи - елементи от числова последователност

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597 ... (последователност A000045 в OEIS)

при което всяко следващо число е равно на сумата от двете предходни числа. Кръстен на средновековния математик Леонардо от Пиза (или Фибоначи).

По-формално, последователността на числата на Фибоначи се дава от връзката на повтаряемостта:

Понякога числата на Фибоначи се разглеждат и за неположителни числа n като двустранна безкрайна последователност, която удовлетворява основната връзка. Членовете с такива числа могат лесно да бъдат получени с помощта на еквивалентната обратна формула: Fn = Fn + 2 - Fn + 1:

н

Лесно е да се види, че F - n = (- 1) n + 1 Fn. Повечето от следните свойства остават валидни за числата на Фибоначи с отрицателни индекси.

Формулата на Бине

Формулата на Бине Изрично изразява стойността на Fn като функция от n:

,

където е златното сечение. Освен това те са корените на квадратното уравнение .

От формулата на Бине следва, че за всички Fn е най-близо до цяло число, т.е. По-специално асимптотиката .

Самоличности

• Числата на Фибоначи са представени от стойностите на континуантите на набор от единици:, т.е.

, и ,

където матриците имат размер, i е въображаемата единица.

• Числата на Фибоначи могат да бъдат изразени чрез полиноми на Чебишев:

---