Бърза трансформация на Фурие
За какво е бързото преобразуване на Фурие или дискретно преобразуване на Фурие (DFT)? Нека се опитаме да го разберем.
Да предположим, че имаме синусова функция x = sin (t) .
Максималната амплитуда на това трептене е 1. Ако го умножим по някакъв коефициент A, получаваме една и съща графика, опъната вертикално по A пъти: x = Asin (t) .
Периодът на трептене е 2π. Ако искаме да увеличим периода до T, тогава трябва да умножим променливата t по коефициент. Това ще разтегне графиката хоризонтално: x = A sin (2πt/T) .
Честотата на трептенията е противоположна на периода: ν = 1/T. Те говорят и за кръговата честота, която се изчислява по формулата: ω = 2πν = 2πT. Откъде: x = Грех (ωt) .
И накрая, има фаза, наречена φ. Той определя изместването на графика на флуктуацията наляво. Комбинацията от всички тези параметри води до хармонично трептене или просто хармоничен:
Изразът на хармоника от гледна точка на косинуса изглежда много подобен:
Няма голяма разлика. Достатъчно е да промените фазата с π/2, за да преминете от синус в косинус и обратно. По-нататък имаме предвид под хармоника косинусовата функция:
x = A cos (2πt/T + φ) = A cos (2πνt + φ) = A cos (ωt + φ) (18)
В природата и технологиите вибрациите, описани от такава функция, са изключително често срещани. Например махало, струна, водни и звукови вълни и др. И т.н.
Преобразуваме (18) по формулата за косинуса на сумата:
x = A cos φ cos (2πt/T) - A sin φ sin (2πt/T) (19)
Нека отделим елементи в (19), които са независими от t, и ги обозначим като Re и Im:
x = Re cos (2πt/T) - Im sin (2πt/T) (20)
Re = A cos φ, Im = A sin φ
Стойностите на Re и Im могат да се използват за еднозначно възстановяване на амплитудата и фазата на оригиналната хармоника:
и (21)
Помислете за много често срещана практика. Нека имаме звук или някаква друга вибрация под формата на функция x = f (t). Нека това колебание да бъде записано под формата на графика за интервала от време [0, T]. За обработка от компютър трябва да изпълните вземане на проби. Сегментът е разделен на N-1 равни части, границите на частите са обозначени с tn = nT/N. N граници на функцията се съхраняват на границите на частите: xn = f (tn) = < x0, x1, x2. xN > .