Безкрайно минимални автоморфизми на почти симплектични структури - тема на научна статия за

Посочена е максималната размерност на алгебрата на Лие на безкрайно малки автоморфизми на риманови и почти симплектични структури, възникващи естествено върху допирателния сноп на гладко многообразие, надарено с почти симплектична структура и линейна връзка, съответстваща на тази структура.

Текст на научната работа по темата "За безкрайно малки автоморфизми на почти симплектични структури"

НАУЧНИ БЕЛЕЖКИ ОТ ДЪРЖАВНИЯ УНИВЕРСИТЕТ В КАЗАН

ЗА БЕЗКРАЙНИТЕ МАЛКИ АВТОМОРФИЗМИ НА ПОЧТИ СИМПТОМНИ СТРУКТУРИ

В. И. Панженски

Въведение. Върху допирателния пакет TM на гладко n-мерно многообразие M, надарено с почти симплектична структура w и линейна връзка V, съответстваща на тази структура, възниква риманова метрика O, която е ермитова по отношение на каноничната почти сложна структура 3 Основната 2-форма на почти ермитова структура (0,3) определя почти симплектична структура на TM. Чрез права линия, връзката V на основния колектор M генерира на TM напълно редуцируема връзка V, съвместима с O и P.

В тази статия е доказано, че пълното повдигане Xc на векторно поле X е основа M

на структура O или почти симплектична структура на TM тогава и само ако X е безкрайно малък автоморфизъм на почти симплектична структура w, която запазва връзката V. Размерът на алгебрата на Ли на такива автоморфизми не надвишава n (n + 3)/2. Най-общите запазващи слоя автоморфизми се определят от проектирани векторни полета. Доказано е, че размерът на алгебрата на Лие на безкрайно малки автоморфизми, запазващи влакна и връзката V me, надвишава 3n (n + 1)/2 за римановата структура O и n (n + 3) за

1. Нека w е недегенерирана 2-форма, която определя почти симплектична структура на n-мерно гладко многообразие M. Векторното поле X на M е безкрайно малък автоморфизъм на почти симплектична структура, ако производната на Lie на w по X изчезва: bxw = 0. В локалните координати тези уравнения имат следната форма:

£ k dk shts + shts dg £ k + sh

където w = wy ¿xg l ¿xz, wy = - wtsr, ¿wbtshy || = 0, X = £ kdk, dk = d/dxk; • • • =

= 1, стр. Ако структурата е симплектична: ¿ш = 0, тогава имаме

dk shu + dg shtsk + du shkg = 0. (2)

Всяко векторно поле X съответства на 1-форма a = 1x w. Ако X е безкрайно малък автоморфизъм на симплектична структура, тогава формата a = wy £ rb, x3

е затворено: ¿a = 0, което непосредствено следва от (1) и (2). Обратно, на негенерирана 1-форма a = a, ¿x1 съответства векторно поле X такова, че a = 1x w, т.е. X = u>% 3a, dz и от ¿a = 0 и ¿w = 0 то следва такова, че bxw = 0, тоест X е безкрайно малък автоморфизъм. Следователно алгебрата на Лие на всички безкрайни автоморфизми на симплектична структура като векторно пространство е изоморфна на векторното пространство на затворени 1-форми и следователно е безкрайно измерна [1].

2. Линейна връзка V е в съответствие с w, ако и yx w = 0 за всяко векторно поле X или в локални координати

dk-shr, gr - sh »rgk, = 0> (3)

където Гк са коефициентите на свързаност: Vdi d, = Г1 d ^. Колоездене (3) и добавяне, получаваме

+ Shrrr ^ p, + = dk + d ", + d, w ^ r, (4)

където = Гк - Гк са компонентите на торсионния тензор S (X, Y) = VxY - VYX - [X, Y] на връзката V. От (4) следва, че ако конструкцията е почти симплектична (¿ш =

Компонентите на всяка връзка, съвместима с почти симплектична структура, имат формата [2]

където Pi е произволна колекция от функции, симетрични по отношение на първите два индекса: n, =, Pr • Валидността на равенствата (3) се проверява директно чрез заместване (5) на (3).