Аксиоматична теория на множествата, концепции и категории
АКСИОМАТИЧНА ТЕОРИЯ, формулиране на множества от теория под формата на формална (аксиоматична) система (вж. Аксиоматичен метод). Основният стимул за изграждането на аксиоматична теория на множествата е откритието в „наивната“ теория на множествата от Г. Кантор, предназначена да обоснове класическата математика, парадокси (антиномии), т.е. противоречия. Всички тези парадокси (например парадоксът на Кантор, свързан с разглеждането на „множеството от всички множества“ или парадоксът на Ръсел, който разглежда „множеството от всички множества, които не се съдържат като елемент“) се дължат на неограничен приложение на така наречената теория на множеството на Кантор. принципът на конволюция (или абстракция), според който за всяко свойство има набор, състоящ се от всички обекти, притежаващи това свойство (този принцип всъщност се съдържа вече в първата фраза на всички традиционни твърдения на теорията на множествата: „ние ще считаме за произволно набори от елементи с произволен характер "и др. П.).
В първата от известните системи на аксиоматичната теория на множествата - системата Zermelo-Fraenkel или ZF (формулирана през 1908 г. от E. Zermelo, допълнена през 1921-1922 г. и по-късно от A. Fraenkel), принципът на сгъване е заменен с няколко от неговите частни случаи: аксиомата на съществуването на двойка от произволни (данни) набори x ta. y, аксиомата на съществуването на обединението на всички елементи на произволно множество x в ново множество S (x), аксиомата на съществуването на множеството P (x) на всички части на произволно множество x, аксиомата за съществуването на безкрайно множество и т.н. схеми на аксиоми за подбор (според които за всеки набор x и свойство φ има набор от елементи x, притежаващи свойство φ) и заместване (като се твърди, че за всяко едно към едно картографиране на елементи от множество x, описано на езика на системата ZF, има набор от такива z, на които тези елементи се показват x). Не попада под така наречения принцип на сгъване. аксиомата на избора (относно съществуването на „набор от представители“, т.е. набор, съдържащ точно един елемент от всеки от дадените непразни двойно неразделими множества). Както във всяка друга система на А. т. М., и в ZF се постулира аксиомата на размерността (разширението), според която множествата, състоящи се от едни и същи елементи, съвпадат. Понякога някои други аксиоми с по-специално предназначение са прикрепени към ZF. Формулите ZF се получават от „елементарни формули“ от формата x e y („x принадлежи на y“) с помощта на предикатното смятане.
По-късно са изградени множество модификации на ZF и системи, които се различават от ZF по това, че „лошите“ (водещи до парадокси) набори от елементи не са напълно изключени от разглеждане, но са признати за „правилни класове“, т.е. като елемент други набори (тази идея, идваща от J. Neumann, е разработена по-късно от швейцарския математик П. Bernays, K. Gödel и други). Тези системи, за разлика от ZF, могат да бъдат определени чрез краен брой аксиоми.