АКСИОМАТИЧЕН МЕТОД - Философия
3 АКСИОМАТИЧЕН МЕТОД
Аксиоматичният метод дава възможност да се правят заключения и да се откриват закони, без да се разчита на наблюдения и експерименти, а чрез логическо заключение.
Може би едно от първите успешни приложения на аксиоматичния метод е геометрията на древногръцкия математик Евклид (появява се някъде през 330-320 г. пр. Н. Е.). Евклидовата аксиоматична система като цяло може да се характеризира, както следва. Изследването на пространството около нас даде възможност да се опишат някои от свойствата на обектите, които се наричат точка, права линия, равнина, триъгълник, окръжност и т.н. Евклид избра няколко твърдения за тези обекти като аксиоми или постулати. Тяхната истина, по негово мнение, не се нуждаеше от доказателство поради тяхната очевидност и лесно разбиране. Сред аксиомите той приписва преценки: „Чрез две точки можете да нарисувате само една права линия“, „През права линия и точка извън нея може да премине само една равнина“ и т.н. От тези аксиоми, по чисто логичен начин, Евклид е успял да изведе всички необходими геометрични твърдения и закони, които обикновено се наричат теореми.
По справедливост трябва да се каже, че доказателствата на Евклид (като доказателствата за училищната геометрия, които всички сме изучавали) са придружени от множество рисунки. И отне много време, за да стигнем до очевидната идея, че чертежите не трябва да бъдат съществена част от самия процес на проверка. Те трябва или да улеснят процеса на доказване, или да помогнат за проследяване на напредъка на доказването, или, накрая, да помогнат за запомнянето на доказателствата. Този дефицит на геометрията на Евклид е коригиран от Д. Хилберт в книгата му „Основи на геометрията“ (1999).
Фактът, че аксиоматично изградената геометрия предоставя изключително прост, удобен и икономичен начин за установяване истинността на геометричните разсъждения, направи силно впечатление. Те започват да се опитват да прилагат аксиоматичния метод не само в математическите теории, но дори и във философията (Спиноза). Представители на много науки се надяваха, че в крайна сметка много теории могат да бъдат доведени до същата елегантност и съвършенство с помощта на аксиоматика като евклидовата геометрия. Аксиоматичният метод е добре проучен. Първите най-важни резултати бяха получени отново в геометрията.
Петият постулат на Евклид (той може да бъде формулиран по следния начин: две успоредни линии не се пресичат, колкото и да ги продължаваме) изглеждаше по-малко очевиден за математиците от останалите. Правени са много опити да се докаже този постулат, като се извлича от останалите постулати на евклидовата система. Но всички тези опити се провалиха. През 1923 г. Н.Н. Лобачевски и през 1933 г. Бояи конструират геометрия, в която отрицанието на петия постулат на Евклид се появява като постулат, т.е. като аксиома беше взето преценката, че през точка извън права линия могат да се направят безкрайно много прави линии, успоредни на дадена права линия. Първоначално много математици се срещнаха с неевклидова геометрия с враждебност поради нейното очевидно противоречие с възприеманото физическо пространство. През 1950 г. обаче о. Клайн намери много успешна интерпретация (изясняване) на тази геометрия. Ако под „равнина“ имаме предвид вътрешността на някакъв кръг от евклидовата равнина, под „точка“ - точката на този кръг и под „права“ - хордата на неговия кръг, то всички аксиоми и теореми на Лобачевски-Бояй геометрията ще бъде изпълнена вътре в кръга. От тези открития бяха направени важни изводи за всяка аксиоматична система: аксиомите на тази система трябва да отговарят на изискванията за независимост, пълнота, последователност и тя не трябва да се изроди.