28 март 2017 г. - - Бележки по - теоретична физика
Нека продължим да решаваме „проблема с хокея“. В последния пост разгледахме вариант на проблема с изкуствена поддръжка на постоянна скорост на въртене на пръстена. Нека сега се обърнем към варианта, когато поради триенето се забавя не само транслационното движение, но и въртенето.
Припомняме, че динамиката на пръстена се описва от уравненията
където $$ v $$ е скоростта на транслационното движение, $$ u = \ omega R $$ е скоростта на въртеливото движение на пръстена.
Системата от уравнения (1) е симетрична по отношение на заместването на $$ u $$ с $$ v $$. Ако в началния момент $$ u = v $$, то от съображения за симетрия това съотношение ще остане между скоростите до един стоп. Друг случай, който ще разгледаме, е $$ u> v $$. Обратен случай $$ u v
За съжаление интегралите в системата (1) се свеждат до елиптични, което не оставя надежда за аналитично решаване на системата. Цифровото решение остава.
Директният опит за решаване на уравнението в Maple се проваля. Определените интеграли са заменени от куп елиптични интеграли, което няма смисъл да се представя тук. Когато изчертаваме диаграмата, виждаме съобщение за грешка
За да опростим изразите, налагаме ограничението $$ u (t) \ ge v (t) \ ge 0 $$ на всеки от интегралите.
Ограниченията премахват съобщението за грешка. Maple отнема много време да мисли, но показва празна графика. За да разберем причината, извеждаме решението на уравнението в даден момент.
$$ [t = 1., \\ u (t) = 10.9976102709142-2.84005015829721 10 ^, \\ v (t) = 1.04887416587408 + 2.92542849266058 10 ^] $$
Натрупването на грешка при закръгляването води до появата на ненулева въображаема част в търсените функции, поради което графиката е празна. За да избегнем появата на въображаемата част, вземаме изрично реалната част от дясната страна на уравненията:
И накрая, Maple, след дълъг размисъл, все още рисува графика.
В същото време виждаме предупреждение за точката на спиране на изчисленията, което очевидно съвпада с момента, в който движението завършва: