Вселената на фон Нойман
В теорията на множествата и свързаните с нея области на математиката под Вселената на фон Нойман (обозначено V), или йерархията на множествата на фон Нойман, разбира се клас, формиран от наследствени финансирани набори. Такъв набор, формализиран от теорията на множествата на Zermelo-Fraenkel (ZFC), често се използва като интерпретация или обосновка на аксиомите на ZFC.
Ранг на основан набор се определя индуктивно като най-малкото поредно число, надвишаващо ранга на който и да е елемент в това множество. [1] По-специално рангът на празния набор е равен на нула, а рангът на произволен редови номер е равен на себе си. Комплекти, включени в клас V, поради разделяне на рангове, образуват трансфинитна йерархия, която също се нарича кумулативна йерархия на множества.
Съдържание
Съществуването и уникалността на трансфинитната рекурсивна дефиниция на множества са доказани от фон Нойман през 1928 г. за случая на теорията на множествата Зермело-Фраенкел [4], както и неговата собствена теория на множествата (която по-късно става основа на теорията на NBG). [5] Въпреки това, в нито една от тези статии той не използва своя трансфинитен рекурсивен метод за конструиране на универсална колекция от всички множества. Описанията на вселената на фон Нойман, направени от Bernays [6] и Менделсон [7], приписват на фон Нойман метода на изграждане, основан на трансфинитна индукция, но не и приложението му към проблема за конструирането на вселената от обикновени множества.
Формулата ⋃ α V α V_> често се разглежда по-скоро като теорема, отколкото като дефиниция. [6] [7] Според Ройтман [12] (без позоваване на каквито и да било източници), еквивалентността на аксиомата на редовността и равенството на кумулативната йерархия към вселената на ZF-множества е демонстрирана за първи път от фон Нойман.