Упражнение по физика 18 Изречение на Щайнер; виртуална максима
Задача:
Две масивни топки с масите 4 kg и 1 kg и радиусите 30 cm и 10 cm са свързани помежду си с пръчка (масата на която е незначителна) (виж илюстрацията). Разстоянието между центровете на сферите е 70 cm. Дъмбелът е балансиран хоризонтално и е завъртян. Изчислете момента на инерцията на дъмбела.
Решение:
Според теоремата на Щайнер моментът на инерция J около оста на въртене се изчислява, както следва.
ДА е моментът на инерция на обекта (в случая сфера) около собствения му център на тежестта, m масата на обекта и l разстоянието между центъра на тежестта и оста на въртене.
Дадена е масата на топките. Центърът на тежестта е точно в центъра на сфера (разбираемо поради симетрията, иначе се изчислява по дефиниция).
Моментът на инерция на масивна сфера е
Все още липсва положението на оста на въртене. Това е в центъра на тежестта на щангата, така че изчисляваме центъра на тежестта. За целта смятаме, че гирата е окачена от центъра на тежестта в покой, т.е. въртящите моменти на двете топки са в равновесие.
F g, 1 l 1 = F g, 2 l 2 m 1 g l 1 = m 2 g l 2 l 1 = m 2 m 1 l 2
Това ни дава израз за разстоянието между първата сфера и оста на въртене, но все пак зависи от разстоянието между втората сфера и оста на въртене. Ако използваме факта, че l1 + l2 = 0,7 m =: D, можем да определим двете разстояния.
Включваме всичко в първото уравнение, за да изчислим инерционните моменти за двете топки и общия инерционен момент.
J 1 = 2 5 1 kg (0. 1 m) 2 + 1 kg 0. 7 m 1 kg 4 kg + 1 2 J 2 = 2 5 4 kg (0,3 m) 2 + 4 kg 0. 7 m 4 kg 1 kg + 1 2 J = J 1 + J 2 J = 0. 3176 kgm 2 + 0. 2224 kgm 2 = 0. 54 kgm 2